Рассмотрим элементарный кубик вещества размерами

,

,

.
Работа внешних сил, действующих на кубик, в проекции на ось

, будет определяться выражением:
![$A_x_1=\left[\sigma_{11}(x_1+\Delta{}x_1)\cdot{}u_1(x_1+\Delta{}x_1)-\sigma_{11}(x_1)\cdot{}u_1(x_1)\right]\Delta{}x_2\Delta{}x_3+\left[\sigma_{12}(x_2+\Delta{}x_2)\cdot{}u_1(x_2+\Delta{}x_2)-\sigma_{12}(x_2)\cdot{}u_1(x_2)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_3+\left[\sigma_{13}(x_3+\Delta{}x_3)\cdot{}u_1(x_3+\Delta{}x_3)-\sigma_{13}(x_3)\cdot{}u_1(x_3)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_2.$ $A_x_1=\left[\sigma_{11}(x_1+\Delta{}x_1)\cdot{}u_1(x_1+\Delta{}x_1)-\sigma_{11}(x_1)\cdot{}u_1(x_1)\right]\Delta{}x_2\Delta{}x_3+\left[\sigma_{12}(x_2+\Delta{}x_2)\cdot{}u_1(x_2+\Delta{}x_2)-\sigma_{12}(x_2)\cdot{}u_1(x_2)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_3+\left[\sigma_{13}(x_3+\Delta{}x_3)\cdot{}u_1(x_3+\Delta{}x_3)-\sigma_{13}(x_3)\cdot{}u_1(x_3)\right]\Delta{}x_1\Delta{}x_2.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/f/fbfadd81892173e350f37d0811a1732f82.png)
Разделив это выражение на элементарную массу кубика, стремя при этом его размеры к нулю можем записать:
![$\frac{A_x_1}{m}=W_x_1=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\left(\sigma_{11}u_1\right)}{\partial{}x_1}+\frac{\partial\left(\sigma_{12}u_1\right)}{\partial{}x_2}+\frac{\partial\left(\sigma_{13}u_1\right)}{\partial{}x_3}\right].$ $\frac{A_x_1}{m}=W_x_1=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\left(\sigma_{11}u_1\right)}{\partial{}x_1}+\frac{\partial\left(\sigma_{12}u_1\right)}{\partial{}x_2}+\frac{\partial\left(\sigma_{13}u_1\right)}{\partial{}x_3}\right].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/2/1e2b4fb898b7418256dd054cdba57c2f82.png)
Окончательно можно переписать:

Аналогично можно составить выражения для работ внешних сил в проекциях на оси

и

, тогда работа всех сил будет определяться выражением:

производная по времени от

равна:

, или
![$\frac{\partial{}W}{\partial{}t}=\frac{1}{\rho}\cdot\left[\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i\right)+\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}x_j}v_i+\sigma_{ij}\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right]$ $\frac{\partial{}W}{\partial{}t}=\frac{1}{\rho}\cdot\left[\frac{\partial}{\partial{}x_j}\left(\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}t}u_i\right)+\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial{}x_j}v_i+\sigma_{ij}\frac{\partial{}v_i}{\partial{}x_j}\right]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/7/597eadb3b8ecb5b5a5c909264dc2e87282.png)
Кинетическая энергия, отнесенная к единице массы равна:

, производная от нее по времени:

.
Из уравнения (1.14) при отсутствии массовых сил имеем:

тогда можем написать:

.
Вычитая из

получаем:
