. Здесь прошу помочь с её численным решением. По заданию нужно пользоваться обобщённой неявной схемой.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с
постоянными коэффициентами

Определим равномерную сетку, как множество узлов

,
где


Запишем приближенные выражения для производных, входящих в задачу:




Проводя дискретизацию задачи (...), заменим все функции непрерывных
аргументов

,

их сеточными аналогами. Рассмотрим наряду с
основными узлами шаблона вспомогательный узел

,
где

. Используя этот узел, запишем уравнения
простейших явной и неявной схем для задачи (...):


где

- значение решения во вспомогательном узле.
Если умножить каждое из уравнений на

и сложить,
а также дописать начальные и граничные условия, то получим обобщённую
неявную схему:

где

.
Как это запрограммироватьПервое уравнение системы представим в следующем виде: в левой части
все члены

, остальные слагаемые - в правой части. Таким
образом, получаем систему вида

Система из

уравнений с

неизвестными решается методом прогонки.
Необходимо учесть, что заданы краевые условия

и

. Уравнение примет следующий вид при

:

при

:

Таким образом, трёхдиагональная матрица

для метода прогонки будет
иметь элементы

на главной диагонали,

- на диагонали
над главной и

- на диагонали под главной. Кроме того, с учётом
вышеприведённых краевых условий, исключениями будут


Система будет содержать

уравнение с

переменной. Ещё
2 значения получатся из краевых условий.
Итак, преобразования первого уравнения системы:


![$$
u_{i+1}^{k+1}\left[\frac{a^{2}(1-\theta)}{h_{x}^{2}}\right]-u_{i}^{k+1}\left[\frac{1}{h_{t}}+2\frac{a^{2}\theta}{h_{x}^{2}}\right]+u_{i-1}^{k+1}\left[\frac{a^{2}(1-\theta)}{h_{x}^{2}}\right]=$$ $$
u_{i+1}^{k+1}\left[\frac{a^{2}(1-\theta)}{h_{x}^{2}}\right]-u_{i}^{k+1}\left[\frac{1}{h_{t}}+2\frac{a^{2}\theta}{h_{x}^{2}}\right]+u_{i-1}^{k+1}\left[\frac{a^{2}(1-\theta)}{h_{x}^{2}}\right]=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/9/ba944a04c201acaa3452cf20d16c420182.png)


Проблема в том, что этот метод даёт какие-то совершенно неправдоподобные результаты. В чём может быть проблема?