Доказательство разности одинаковых степеней двух целых

[bpz]

Добрый день, в математике слабоват, пытаюсь разобраться
Необходимо собственно доказать
$b^n-a^n = (b-a)(b^{n-1}+ab^{n-2}+...+a^{n-2}b+a^{n-1})$ где $a,b,n > 0$
куда копать???

[Yuri Gendelman]

Алгебра за 7-й класс?
В номере класса могу ошибиться, давно дело было однако...

[PAV]

Копать вглубь. Просто раскройте скобки. При этом все взаимно сократится, кроме двух членов, которые и нужны. Если непонятно в общем виде, попробуйте расписать для небольших степеней $n$ - 3, 4, 5

[bpz]

Цитата:

Алгебра за 7-й класс?

Вот послали так послали

Цитата:

..Просто раскройте скобки...

Это естестно сделал, и заметил, что сократятся, но надо рассмотреть случай для бесконечного n
Производил деление b^n-a^n на b-a но как-то не очень очевидно сокращение
Роюсь в сторону P(n)=(b-a)S(n-1) + R, но что-то не особенно удачно ....

PS: думаю, что можно воспользоваться следствием теоремы Безу... но это как-то не то
должно быть, что-то более очевидное
PS2: по индукции доказать не получатется...

[RIP]

Учитывая, что

$$b^{n+1}-a^{n+1}=b(b^n-a^n)+(b-a)a^n,$$

по индукции легко можно доказать.

[bot]

Формулу суммы геометрической прогрессии знаете?
Вот она:
$1+q+q^2+ ... + q^{n-1} = \frac{1-q^n}{1-q}$
Для $q=1$ она теряет смысл, который легко восстановить умножением на $1-q$. Отсюда тождество:

$(1-q)(1+q+q^2+ ... + q^{n-1}) = 1-q^n$,
которое, впрочем, легко проверяется, что Вам уже и советовали раскрытием скобок в более общей ситуации. А теперь подставьте в это тождество $q=\frac{b}{a}$ (особый случай $a=0$ с самого начала тривиален) и умножьте полученное тождество на $a^n$.