Открытые и замкнутые множества

[swact]

Посдкажите, правильно ли я считаю, что:
1) прямая x=y в пространстве R^2 является открытым множеством
2) множество точек пространства R^2 за икслючением одной единственной точки (0,0) является открытым множеством?

[alex1910]

1 - нет
2 - да

[swact]

Спасибо, а чем же тогда является прямая? неужели замкнутым множеством?

[Joker_vD]

Безусловно. Полуплоскость $x<y$ — открытое множество, полуплоскость $x>y$ — открытое множество, их объединение $x\ne y$ — открытое множество, и потому его дополнение — прямая $x=y$ — замкнутое множество.

[swact]

спасибо

[mihailm]

(Оффтоп)

А метрика то у вас swact какая?

[Виктор Викторов]

swact в сообщении #412230 писал(а):

Посдкажите, правильно ли я считаю, что:
1) прямая x=y в пространстве R^2 является открытым множеством
2) множество точек пространства R^2 за икслючением одной единственной точки (0,0) является открытым множеством?

Давайте вместо R^2 будем писать $\mathbb{R}^2$.

swact в сообщении #412282 писал(а):

... а чем же тогда является прямая? неужели замкнутым множеством?

Joker_vD в сообщении #412284 писал(а):

Безусловно. Полуплоскость $x<y$ — открытое множество, полуплоскость $x>y$ — открытое множество, их объединение $x\ne y$ — открытое множество, и потому его дополнение — прямая $x=y$ — замкнутое множество.

Осторожно! Нужно ещё спросить в какой топологии. В стандартной топологии $\mathbb{R}^2$ действительно прямая замкнутое множество.
Но, в стандартной топологии $\mathbb{R}$ прямая ($\mathbb{R}$) множество открытое и замкнутое одновременно.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #412308 писал(а):

Осторожно! Нужно ещё спросить в какой топологии.

На то топология и названа "стандартной", чтобы можно было не спрашивать. К тому же в том вопросе имелась в виду именно прямая $x=y$.

[Виктор Викторов]

Ещё раз: осторожно! У нас уже две стандартные топологии: стандартная топология плоскости и стандартная топология прямой. «... именно прямая $x=y$» может быть рассмотрена как множество в стандартной топологии плоскости (и тут Вы абсолютно правы прямая $x=y$ замкнутое множество), или как подпространство с индуцированной топологией и тогда, конечно, прямая $x=y$ и замкнутое и открытое множество.