Отделимость непересекающихся множеств

[havebeenfitz]

Здравствуйте. Есть следующая задача:

В метрическом пространстве заданы замкнутые множества $F_1, F_2: F_1 \cap F_2 = 0$. Доказать, что найдутся открытые множества $G_1 \supset F_1 , G_2 \supset F_2 : G_1 \cap G_2 = 0$.

Мои попытки решения:
Нужно построить две непересекающиеся окрестности вокруг множеств $F_1, F_2$, чтобы эти окрестности не пересекались. Как сказал преподаватель, с окрестностями постоянной ширины ничего не выйдет, так что построим такие: взяв элемент из первого множества $x_1$, найдем ближайший $x_2$ к нему из второго (на расстоянии $r_1$), а ширину окрестности $x_1$ - $\varepsilon_1 < \frac{r_1}{2}$ - заведомо меньшую расстояния между элементами. Проделав такую операцию для каждого элемента, получим объединение окрестностей $\varepsilon_i(r_i)$, которое будет являться открытым множеством. Полученное множество $G_1$ будет окружать $F_1$

Аналогичным способом построим $G_2 \supset F_2$.
Таким образом, в силу выбора орестностей $G_1 \cap G_2 = 0$, т.к. размер окрестности зависит от расстояния между элементами.

А теперь вопросы: 1. Как можно доказать, что для любого элемента найдется ближайший? Мои слова про то, что в пространстве задана метрика, по которой можно сравнивать расстояния, показались преподавателю неубедительными. 2. Достаточно ли обосновано утверждение о пустом пересечении $G_1 , G_2$? 3. Правильны ли вообще мои рассуждения?..

Попробовал изобразить их:

Спасибо за внимание, извините за возможный бред...

[mihailm]

может так попроще будет?

Возьмем у каждой точки первого мн-ва окрестность (круглую) вне второго множества и наоборот
радиус всех окрестностей на всякий случай уменьшим вдвое

объединение всех этих окрестностей по первому мн-ву и по второму и даст то что надо

[Joker_vD]

havebeenfitz в сообщении #412028 писал(а):

1. Как можно доказать, что для любого элемента найдется ближайший?

А и не надо. Возьмите множество расстояний от точки $x_1$ до всех точек $F_2$ и назначьте его точную нижнюю грань на должность $r_1$. Вот только она не должна ни в коем случае равняться нулю... ну, это можно показать от противного: если она равна нулю, то можно построить последовательность точек из $F_2$, сходящихся к $x_1$, который тогда окажется предельная точкой $F_2$, а т.к. $F_2$ замкнуто, выходит, что $x_1\in F_2$ — противоречие.

[havebeenfitz]

mihailm в сообщении #412034 писал(а):

вне второго множества и наоборот

Вот это я и описал подробнее, чтобы уж наверняка.

Joker_vD в сообщении #412047 писал(а):

А и не надо. Возьмите множество расстояний от точки до всех точек и назначьте его точную нижнюю грань на должность . Вот только она не должна ни в коем случае равняться нулю... ну, это можно показать от противного: если она равна нулю, то можно построить последовательность точек из , сходящихся к , который тогда окажется предельная точкой , а т.к. замкнуто, выходит, что — противоречие.

А что, если множетсва такие: замкнутый шар и спираль, подходящая к нему сколь угодно близко, но не пересекающаяся с ним. Тогда нельзя будет найти ближайший. То есть точной нижней грани не будет.

[Joker_vD]

havebeenfitz в сообщении #412058 писал(а):

То есть точной нижней грани не будет.

Точная нижняя грань будет всегда, т.к. расстояние между точками неотрицательно. И она не может быть равна нулю по известному свойству: расстояние от точки до замкнутого множества равно нулю тогда и только тогда, когда эта точка принадлежит этому множеству, доказательство которого я написал.

[havebeenfitz]

Хм, кажется, стало яснее. Спасибо большое!

[ewert]

Joker_vD в сообщении #412047 писал(а):

ну, это можно показать от противного: если она равна нулю, то можно построить последовательность точек

Можно ещё противнее: не принадлежа второму множеству, она принадлежит его дополнению (которое открыто) и, следовательно, принадлежит этому дополнению вместе с некоторой своей окрестностью.

[alcoholist]

есть еще способ -- рассмотреть функцию

$$ f(x)=\frac{\rho(x,F_1)}{\rho(x,F_1)+\rho(x,F_2)}, $$

доказать ее непрерывность и взять $G_1=f^{-1}[0;1/2)$, $G_2=f^{-1}(1/2;1]$