Границы Интегрирования в кратных интегралах

[Orin]

Помогите пожалуйста разобраться как расставлять граници интегрирования в кратных интегралах...

1. Есть тройной интеграл,

$$\ I = y*dxdydz$$

, по некоторой области Т, каторая ограничена поверхностями:

$$\ y = \sqrt{x^2+z^2}, y = h, h > 0; $$

Сдесь фактически получаем что $$\ z = \sqrt{y^2-x^2}, также, спроэктировав
на оси xOy, получим что y зависит от x: $$\ y = \sqrt{x^2 + 0}, y = x) Что дальше делать незнаю

2.$$\ I = z*dxdydz по V, где $$\ V = {(x,y,z) : x^2+y^2+z^2<=R^2 , x^2+y^2+z^2 <= 2Rz}

3.$$\ I = x*dxdydz, где наш объект ограничен $$\ Z=\sqrt{x^2+y^2}, 6Z=x^2+y^2;

Интересуют исключительно способы или пути расстановки границ.

И ещо маленький вопросик, неподскажите решение интеграла $$\ I = \cos(x)*\sin(\pi*\cos(x))dx?
Заранее благодарен.

[Kuzya]

Кто Вам сказал, что это криволинейные интегралы?

[Brukvalub]

Чтобы превратить кратный интеграл в повторный, используют теорему Фубини. В трехмерном случае можно поступить так: спроецировать область интегрирования на удобную координатную плоскость (предположим,это будет плоскость ХОУ), в результате чего получится плоская область D, после чего задать трехмерную область интегрирования неравенствами $f_1 (x,y) \le z \le f_2 (x,y)\quad ,\quad (x,y) \in D$. Тогда тройной интеграл по исходной области запишется в виде повторного:$\int\limits_D {dxdy\int\limits_{f_1 (x,y)}^{f_2 (x,y)} {f(x,y,z)dz} } $.
Например, в первом случае, удобно проецировать область на координатную плоскость ХОZ - получится круг, "нижняя" граница области-поверхность конуса, а "верхняя"- плоская "крышка". Далее попробуйте сделать самостоятельно.

[Orin]

Получаеться, что спроєктировав на xOz я получу зависимость для y ?
I mean $$\ x^2+z^2 <= y <= h, тогда Z будет меняться так как я нашол выше ? Как тогда будет меняться х ? Может $$\ 0 <= x^2 <= h

Все равно для меня єто както туговато в понимаи... Даже незнаю как мне можно помоч

Добавлено спустя 44 секунды:

Kuzya писал(а):

Кто Вам сказал, что это криволинейные интегралы?

Спутал с темой которую сейчас проходили... Уже исправил

[Kuzya]

Проекция на плоскость xOz - круг, поэтому лучше в двойном интеграле перейти к полярным координатам. Примеров в литературе полно.