система из недавней олимпиады мфти

[VoloCh]

50-я выездная. уже прошла. Задача м5 (10-11класс)
Найти все действительные решения системы уравнений

$$\left\{\begin{array}{l} 2+6y=\frac xy-\sqrt{x-2y},\\[5pt] \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2.\end{array}\right .$$

[arqady]

Первое уравнение всё рушит.

[Руст]

arqady в сообщении #410385 писал(а):

Первое уравнение всё рушит.

Не рушит, а упрощает. Надо сделать замену $x=z^2y^2+2y$. Тогда первое уравнение
приводит к $(z-3)(z+2)=0$.
Для случая $z=3$ учитывая $zy>0$ получаем $y=\frac{4}{9}, x=\frac{8}{9}$.
Аналогично для случая $z=-2$.

[ewert]

Напрашивается замена $t=\sqrt{x-2y}$. Тогда первое уравнение автоматически оказывается однородным квадратным относительно переменных $t$ и $y$ с хорошими "решениями", которые при подстановке во второе дают уже нечто простое. В результате $x=12,\,y=-2$ или $x=\frac83,\,y=\frac49$.

-- Вт фев 08, 2011 11:49:21 --

(ну собственно это ровно то же, что и у Руст"а, только в лоб)

[alex1910]

Или совсем в лоб - решить первое уравнение как квадратное относительно х.

[myra_panama]

alex1910 в сообщении #410947 писал(а):

Или совсем в лоб - решить первое уравнение как квадратное относительно х.

Да.... получилось такое уравнение относительно x
$x^2-(13y^2+4y)x+(36y^4+14y^3+4y^2)=0$
если я где то не ошибся , сложновато будет, если найти корни....

[alex1910]

myra_panama в сообщении #410957 писал(а):

alex1910 в сообщении #410947 писал(а):

Или совсем в лоб - решить первое уравнение как квадратное относительно х.

Да.... получилось такое уравнение относительно x
$x^2-(13y^2+4y)x+(36y^4+14y^3+4y^2)=0$
если я где то не ошибся , сложновато будет, если найти корни....

Ошиблись - вместо 14 надо 26. И его дискриминант - полный квадрат, так что никакой сложности.

[myra_panama]

alex1910 в сообщении #410965 писал(а):

Ошиблись - вместо 14 надо 26. И его дискриминант - полный квадрат, так что никакой сложности.

мм да спасибо