В процессе удалось найти:

Это уже не относится к уравнению

называемому (если не ошибаюсь) уравнением Брика. За его решение, если не ошибаюсь, полагается премия 100 000$.
Здесь можно ограничится натуральными

. Случай, когда одно из них равен 1 уже разобран и доказано, что

имеет единственное решение

.
Случай, когда среди

два (или 3) из них равен 2 так же полностью разбирается и находится общее решение.
Случай

так же разобран (теорема Ферма). Ферма по ходу разобрался со случаем

при

. Было бы интересно вначале разобраться с таким обобщением ВТФ.
Возможно еще некоторые случаи можно решить элементарными методами, типа

или

.
Остаются только случаи когда все степени разные. Возможно решаемо задача о нахождении
целых решений

.
В оставшихся случаях

и общее количество решений должно быть конечным. Было бы интересно найти все такие решения.
Элементарный способ программировать составить список степеней чисел (выше второй или три) и проверять не является ли их сумма или разность степенью (начиная со второго) другого числа. Например на 64 разрядном компьютере легко перебрать степени выше трех до

их не больше 100 000. Даже включая третьи степени их количество остается в разумных пределах (не больше 3 000 000). Выбирая пары чисел из списка вычисляем сумму (потом разность). Вначале проверяем делимость на малые простые числа (например до N^{1/6}). Тогда в случае нахождения хотя бы одного простого делителя с какой степенью он входит легко проверит является ли число степенью некоторого числа (и какой степенью). В отсутствии малых простых делителей так же не сложно проверяется является ли число квадратом, кубом, четвертой или пятой степенью.