Фундаментальное решение оператора Гельмгольца (метод Фурье)

[2.5]

Munin
Прошу прощения за свои обозначения, но именно это там и написано. Если принять направление вектора $x$ за ось $p_n$ $n$-мерной системы координат, то с учетом симметрии подинтегрального выражения относительно вращения вокруг $x$ элемент объема (который у меня обозначен за $dp$) $dp=\frac{\sigma_n}{2}r^{n-1}drdcos\theta$ где $r=|p|$, а $\sigma_n$ - площадь $n$-мерной сферы. Под $px$ же подразумевалось скалярное произведение $px=rxcos\theta$.

[Munin]

2.5 в сообщении #410252 писал(а):

Прошу прощения за свои обозначения, но именно это там и написано.

Тогда вы должны видеть, что там $n$-кратный интеграл, и по сути $n$ раз подряд произведённое преобразование Фурье.

Чтобы почувствовать на себе, найдите фурье-образ кулоновского потенциала.

[2.5]

Munin
$3d$ :

$$f(\vec{k})=\int\frac{d\vec{r}e^{i\vec{k}\vec{r}}}{4\pi\,r}=\frac{2\pi}{4\pi}\int_{0}^{\infty}dr\int_{-1}^{1}dcos{\theta}\frac{dr\,r^2e^{ikrcos{\theta}}}{r}=\frac{1}{k}\int_0^\infty\,dr\,sinkr=\frac{1}{k^2}\int_0^\infty\,dy\,siny=\frac{1}{k^2}$$

$\int_0^\infty\,dy\,siny=\int_0^\infty\,e^{-z}dz=1$ (использована возможность регуляризации, а дальше выбираем контур: ось Ox $[0,\infty]$ замыкаем с Oy $[\infty,0]$ , особых точек нет)

Вычисления от размерности мало зависят, меняется лишь интеграл для нормировочного коэффициента.

[Munin]

У вас после второго знака равенства количество знаков интеграла с количеством знаков дифференциала не совпадает. Не понимаю.

[2.5]

Munin
действительно, одно $dr$ лишнее, правильно так:

$$f(\vec{k})=\int\frac{d\vec{r}e^{i\vec{k}\vec{r}}}{4\pi\,r}=\frac{2\pi}{4\pi}\int_{0}^{\infty}dr\int_{-1}^{1}dcos{\theta}\frac{r^2e^{ikrcos{\theta}}}{r}=\frac{1}{k}\int_0^\infty\,dr\,sinkr=\frac{1}{k^2}\int_0^\infty\,dy\,siny=\frac{1}{k^2}$$

Но мне кажется, что если бы Вы хоть немного мне поверили, то лекго бы поняли это и сами.

[Munin]

Я скорее своим глазам не верю. Мучился, не зная простого способа. Большое спасибо, что подарили мне эту технику. Кстати, а в Минковском как это выглядит?

[2.5]

Munin
Честно говоря, не знаю, может в каком-то смысле можно это и буквально сделать. Но, в любом случае:

$${\int}d^{n+1}x\,e^{ip_{\mu}x^\mu}\phi(x_\mu)=\int\,dx^0\,e^{ip^0x^0}\int\,d\vec{x}e^{-i\vec{p}\vec{x}}\phi(x^0,\vec{x})$$

И если $\phi(x_\mu)$ зависела только от $x_{\mu}x^\mu$ то и $\phi(x^0,\vec{x})$ будет зависеть только от $|\vec{x}|$, так что $n$ проблем это нам, по прежнему, решает =)