Как выбрать контур интегрирования?!

[integral2009]

Найти $\Phi$ с помощью криволинейного интеграла, если

$d\Phi=\dfrac{1-2y}{x^2y}dx+\dfrac{1-x}{y^2x}dy$

Я проверил, что $d\Phi$ является полным дифференциалом, поэтому интеграл $\Phi=\int\limits_l \dfrac{1-2y}{x^2y}dx+\dfrac{1-x}{y^2x}dy$ не зависит от пути интегрирования (исключая точки $x \ne 0$ и $y \ne 0$). Как выбрать конур интегрирования?! по идее, у нас не должен контур пересекать координатные оси....Можно ли выбрать такой $ABC$, где $A(1;1)$ ; $B(1;2)$ ; $C(2;2)$ ???

[ewert]

Можете, но это нелепо. При чём тут конкретно единички и двойки-то?...

Хотя я смутно догадываюсь, откуда ноги растут. В нормальном режиме от вас должны требоваться всего лишь проверка потенциальности поля и восстановление потенциала по векторному полю, а уж как конкретно вы это будете делать -- ваше личное дело. Кому там у вас приспичило зациклиться на именно криволинейных интегралах -- это загадка.

[integral2009]

ewert в сообщении #409895 писал(а):

Можете, но это нелепо. При чём тут конкретно единички и двойки-то?...

Хотя я смутно догадываюсь, откуда ноги растут. В нормальном режиме от вас должны требоваться всего лишь проверка потенциальности поля и восстановление потенциала по векторному полю, а уж как конкретно вы это будете делать -- ваше личное дело. Кому там у вас приспичило зациклиться на именно криволинейных интегралах -- это загадка.

Такое задание)))

$ABC$, где $A(1;1)$ ; $B(1;x)$ ; $C(x;y)$ ???[/quote]
так будет правильнее?)

[Hymilev]

Я бы взял контур $ABC$, где $A(x_0;y_0)$ ; $B(x;y_0)$ ; $C(x;y)$ и после интегрирования все что зависит от $x_0,y_0$ за С

[integral2009]

Hymilev в сообщении #410017 писал(а):

Я бы взял контур $ABC$, где $A(x_0;y_0)$ ; $B(x;y_0)$ ; $C(x;y)$ и после интегрирования все что зависит от $x_0,y_0$ за С

Спасибо! Сделаю!

$$d\Phi=\dfrac{1-2y}{x^2y}dx+\dfrac{1-x}{y^2x}dy$$

$$\Phi=\int\limits_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} \dfrac{1-2y'}{x'^2y'}dx+\dfrac{1-x'}{y'^2x'}dy'= \dfrac{1-2y_0}{y_0}\int\limits_{x_0}^{x} x'^{-2}dx'+\dfrac{1-x}{x}\int\limits_{y_0}^{y} y'^{-2}dy'=$$

$$=\dfrac{1-2y_0}{y_0}\cdot \dfrac{x^{-1}-x^{-1}_0}{-1}+\dfrac{1-x}{x}\cdot \dfrac{y^{-1}-y^{-1}_0}{-1}=-\dfrac{1-2y_0}{xy_0}-\dfrac{1-x}{xy}+C(x_0,y_0)$$

Проблема заключается в том, что

$$\dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=\dfrac{1-2y_0}{x^2y_0} \ne \dfrac{1-2y}{x^2y}$$

Почему так получилось??!!

[ewert]

Потому, что Вы неверно привели подобные: это видно уже из того, что первая дробь содержит и постоянную $y_0$, и переменную $x$, а так не бывает.

И, кстати: запись $C(x_0,y_0)$ у Вас, кажется, взята с потолка, и в любом случае бессмысленна: произвольная постоянная в окончательном ответе ни от чего зависеть не может.

[integral2009]

ewert в сообщении #410219 писал(а):

Потому, что Вы неверно привели подобные:
это видно уже из того, что первая дробь содержит и постоянную $y_0$, и переменную $x$, а так не бывает.

Спасибо за ответ!
У нас ведь такой контур

Поэтому при переходе из $A(x_0,y_0)$ в $B(x,y_0)$ у нас $y=y_0$

Поэтому я писал $\dfrac{1-2y_0}{y_0}\int\limits_{x_0}^{x} x'^{-2}dx'$

Почему это неверно?)

ewert в сообщении #410219 писал(а):

И, кстати: запись $C(x_0,y_0)$ у Вас, кажется, взята с потолка, и в любом случае бессмысленна: произвольная постоянная в окончательном ответе ни от чего зависеть не может.

Под $C(x_0,y_0)$ я понимал, что это константа содержит $x_0$ и $y_0$. =)

[ewert]

integral2009 в сообщении #410323 писал(а):

Почему это неверно?)

Это верно (если я тоже ничего не зевнул). Хотя запись и выглядит нехорошей -- но по крайней мере можно догадаться, что Вы имели в виду. Явно неверно потом, в самом конце.

integral2009 в сообщении #410323 писал(а):

я понимал, что это константа содержит

Произвольная постоянная ничего не может содержать -- это бессмысленно. Она просто произвольна, и всё тут.

[integral2009]

ewert в сообщении #410330 писал(а):

Это верно (если я тоже ничего не зевнул). Хотя запись и выглядит нехорошей -- но по крайней мере можно догадаться, что Вы имели в виду. Явно неверно потом, в самом конце.

Спасибо, ewert! А как будет правильнее записать, кроме того, что константу обозначить за $C$?)))

[integral2009]

[svv]

И что у Вас получилось?

[integral2009]

svv в сообщении #410773 писал(а):

И что у Вас получилось?

Я написал выше, что получилось=)

[ewert]

integral2009 в сообщении #410802 писал(а):

Я написал выше, что получилось=)

Но ведь ответа-то правильного хоть сколько-нибудь -- так по-прежнему и тю-тю, увы. Попытайтесь пересчитать истчо раз.

[integral2009]

ewert в сообщении #410806 писал(а):

integral2009 в сообщении #410802 писал(а):

Я написал выше, что получилось=)

Но ведь ответа-то правильного хоть сколько-нибудь -- так по-прежнему и тю-тю, увы. Попытайтесь пересчитать истчо раз.

Так а я не понял в чем ошибка( В ответе, вместо $y_0$ должен быть $y$...А почему -- я не понял(

[svv]

Подсказка: выражение

$$\dfrac{1-2y_0}{y_0}\cdot \dfrac{x^{-1}-x^{-1}_0}{-1}+\dfrac{1-x}{x}\cdot \dfrac{y^{-1}-y^{-1}_0}{-1}$$

ещё правильное. А дальше получилось бы очень красиво, если не спешить с $C$. Сгруппируйте всё, что без ноликов и всё, что с ноликами.