Аналитическая геом: взаимное расположение плоскости и прямой

[iroln]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возникла необходимость разобраться в задаче по аналитической геометрии.
Задача на взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве.

Условье задачи:
"Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую $\frac {x-1} {1} = \frac {y} {-1} = \frac {z} {0}$ и отсекающей от координатных плоскостей пирамиду объёмом ${V=4}$ {ед^3}$."

Мои размышления:
Из уравнения прямой можно понять, что прямая перпендикулярна оси Оz
Также можно понять, что высота, опущенная из начала координат на плоскость является нормальным вектором плоскости.
Вообще пирамиду можно обозначить как (ABCO) для удобства.
Поидее, если провести векторы, например из точки А к B C и O, то можно будет найти высоту и площадь основания пирамиды, но как найти координаты этих векторов.
Собственно, не получается у меня логически разложить эту задачу, и я даже не знаю с чего начать.
Задача, судя по всему не сложная, но мне не хватает соображалки для решения. Ко всему прочему мало опыта при решении задач этого раздела.

Если у вас есть идеи на этот счёт, поделитесь, пожалуйста!
Я не прошу решить за меня эту задачу. Буду благодарен за грамотный совет от чего отталкиваться, и как логически упорядочить решение.[/math]

[Brukvalub]

Воспользуйтесь тем, что оси коодинат Декартовой системы координат попарно перпендикулярны. Поэтому, если плоскость отсекает на них отрезки длин а, в, с, соответственно, то объем пирамиды будет равен $\frac{{abc}}{6}$

[iroln]

Хорошо, тогда можно записать уравнение плоскости в отрезках.
Но что это даст? И к тому же нужно как-то использовать уравнение прямой. Может для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости $M_0$ ? И уже затем записать общее уравнение плоскости. Но тогда ещё остаётся найти угол между прямой и плоскостью. Так ведь?

[Brukvalub]

Найдите точки персечения прямой с осями ОХ, ОУ- через эти же точки проходит и плоскость, затем останется найти два возможных положения третьей точки на оси OZ и провести через эти три точки плоскость.

[iroln]

Как-то всё это довольно туманно представляется. Не понимаю, как найти точки пересечения прямой с осями оХ оY. Единственное, мне стало ясно, что прямая лежит на плоскости. И как найти третью точку на оси оZ?

[Brukvalub]

Чтобы найти точки пересечения прямой с осями оХ оY, вспомните,как устроены координаты точек на этих прямых, а все остальное, необходимое для решения этой задачи, я уже написал выше. Думайте.

[iroln]

Постойте, с чего вы решили, что прямая пересекается с осями координат? Если она с ними не пересекается, то она полюбому пересекается с координатными плоскостями. а уравнения координатных плоскостей это x=0 y=0 и z=0. Отсюда, можно найти точки пересечения прямой с плоскостями x и y, если записать уравнение прямой параметрически. Допустим, найдены эти точки пересечения, тогда как, зная объём найти третью точку пересечения плоскости. Или я чего-то абсолютно не понимаю, или эта задача сложнее чем кажется. С другой стороны, если задан объём, то это плоскость в отрезках и тогда нужно искать именно точки пересечения с осями координат, а не с координатными плоскостями. Короче я совершенно запутался. Дайте хоть одно не размытое объяснение, если не сложно. Я уже два дня думаю над этой задачей и ничего не получается, только потому, что я не знаю подхода к решению подобных задач. Знание теории почти ничего не даёт без практики. А биться бесконечно головой в стену - это не лучшая практика

[Brukvalub]

Точка М(1 , 0 , 0) лежит на прямой и она же лежит в плоскости ХОУ и даже лежит на оси ОХ. Прямая, как Вы сами писали, перпендикулярна оси ОZ, и тогда эта прямая лежит в плоскости ХОУ и пересекает ось ОУ в некоторой точке К(0 , у , 0). Подставьте эти координаты в ур-ние прямой и найдите у. Теперь z=24/у или z=-24/у. Дальше пишите уравнение двух возможных плоскостей в отрезках. А потом перечитайте наш диалог и убедитесь в том, что все, сказанное мной сейчас, уже было сказано мной Вам ранее.

[iroln]

Если я всё правильно понял и посчитал, то точки пересечения получаются следующие: $M_1(1; 0; 0)$ $M_2(0; 1; 0)$ и точки $M_3^1(0; 0; 24)$ $M_3^2(0; 0; -24)$

Основываясь на данных точках получил следующие уравнения плоскости:
$24x+24y+z-24=0$ (1)
$24x+24y-z-24=0$ (2)

Это верный ответ?

Но ведь требуется составить только одно уравнение плоскости а не два.
И ещё мне не понятно, как может быть второе уравнение.
Или Вы полагаете, что это зеркальное отражение? То есть плоскость как бы вращается вокруг прямой и отсекает пирамиду как в плюсе так и в минусе по оси ОZ ?

И ещё не совсем ясно, почему координату Z мы находим поделив (+/-)24 на y? Почему именно на y мы делим число (+/-)24 (понятно откуда взялось). Так как в данном случае $V= \frac {abc} {6}$ то, чтобы найти (c) нам нужно $\frac {24} {ab}$ так ведь?

[Vadimon]

Мне кажется вы как-то нестандартно подходите к стандартной задаче по аналитической геометрии. В аналитической геометрии главное правильно составить систему уравнений, а анализировать уже то, что получится из системы, а не условия задачи, как делаете вы.
В общем виде уравнение плоскости можно записать как ax+by+cz=1. (Извиняюсь, но я пока не силен в тегах), поэтому нужно найти три уравнения для трех неизвестных a, b и с.
Лучше всего, чтобы это были какие-то точки, тогда уравнения получатся линейными и их будет просто решить. Из уравнения прямой находим, что она проходит через точки (1,0,0) и (2,-1,0). значит первые два уравнения будут выглядеть так: a=1 и 2a-b=1, т.е b=1.
Плоскость ax+by+cz=1 отсекает на осях отрезки 1/a, 1/b, 1/c. Т.о. третье уравнени 1/(6abc)=4, т.е c=24.
Вывод: уравнение плоскости a+b+c/24=1.

[Brukvalub]

iroln писал(а):

...И ещё не совсем ясно, почему координату Z мы находим поделив (+/-)24 на y? Почему именно на y мы делим число (+/-)24 (понятно откуда взялось). Так как в данном случае $V= \frac {abc} {6}$ то, чтобы найти (c) нам нужно $\frac {24} {ab}$ так ведь?

Координату Z мы находим поделив (+/-)24 на y, поскольку ранее я уже нашел для Вас а=х=1. Да, получаются два положения плоскости, и поделать с этим ничего нельзя.
Ответ для Vadimon: Ваше решение-верное, но Вы потеряли второй случай.Не берусь спорить, каке из решений-лучше.

[iroln]

Господа, тогда позвольте узнать, если я неверно определил точки через которые проходит прямая, то как же я смог получить верные уравнения плоскостей? Для общего развития хотелось бы узнать, каким образом точки прохождения прямой нашёл уважаемый Vadimon. И почему у него вторая точка получилась с координатами (2, -1, 0)?
Я попытался найти точки, подставляя параметр t в уравнения координатных плоскостей, это неверно? Пожалуйста, подскажите, как правильно находить точки зная каноническое уравнение прямой.

[Brukvalub]

Секрет Vadimon-а состоит в том, что он сначала не искал точки пересечения прямой с осями, а просто нашел две различных точки этой прямой.

[iroln]

Благодарю вас за помощь в понимании задачи!
Я во всём разобрался. Теперь мне стало понятно почему +/- abc. Это просто надо взять abc по абсолютной величине, т.к. a b и c могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
В итоге я смог решить эту задачу тремя способами, ну и естественно сдал зачёт.

Ещё раз, большоё вам Brukvalub и Vadimon спасибо!