Мера(Матан)

[Stotch]

Объясните пожалуйста что это такое у меня написано
Что это вещественная не отрицательная счетно-аддитивная функция заданная на полукольце.Но я не как не пойму 1)ЧТО ЭТО ЗА ФУНКЦИЯ ТО ТАКАЯ?
2)Чем она отличается от обычной функции f
3)Вот чему например равна мера множества A={1,2,3} и как её вообще считают?
4)Может есть какие нибудь примеры чтобы понять что это?
5)зачем она вообще нужна
Заранее благодарю за ответы

[mihailm]

Stotch в сообщении #409935 писал(а):

Объясните пожалуйста что это такое у меня написано

хорошее начало)
а что за предмет то?

-- Вс фев 06, 2011 23:41:52 --

Stotch в сообщении #409935 писал(а):

Что это вещественная не отрицательная счетно-аддитивная функция заданная на полукольце.
Но я не как не пойму ...

Это не определение, это свойства (меры)
всякая такая вот ерунда обладающая этими свойствами называется мерой

[Stotch]

Предмет матан я написал в теме
Ну вот я не пойму разве это четкое определение меры?

[Alexey1]

Stotch в сообщении #409944 писал(а):

Ну вот я не пойму разве это четкое определение меры?

А что Вам не нравится?

[mihailm]

Stotch в сообщении #409944 писал(а):

Предмет матан я написал в теме
Ну вот я не пойму разве это четкое определение меры?

а извините на тему и не посмотрел внимательно

это не четкое определение меры, это четкое определение того что будет мерой
существует не одна мера а куча всяких разных

Считайте пока что мера это площадь в матане этого хватит

[Stotch]

Сможет кто-нибудь на вопросы ответить в первом посте?

[Lazy]

С ходу коронный вопрос - что Вы понимаете под "обычной функцией $f$"?

[Stotch]

не на просто функция там типа $x^2$ и тд ну ладно с ней?Можете объяснить как-нибудь меру?

[svv]

Определение меры, хорошее по меркам автора, должно определять её так же однозначно, как определены фокус параболы или определитель матрицы.

[--mS--]

У, лбы здоровые, обрадовались! Чего над ребёнком изгалаяетесь?
Сейчас, золотко, я всё-всё объясню

Вы ничего не сказали про базовое множество - наверное, это числовая прямая. "Просто функция" - это функция, которая задана на точках этой прямой: $f:\mathbb R \to \mathbb R$. Это значит, что в скобочках у функции $f$ могут стоять только точки $x\in (-\infty,\,\infty)$.

Мера - это совсем не то. Мера "измеряет" не точки, а множества (типа Вашего $A=\{1, 2, 3\}$). Т.е. это какая-то функция не от иксов, а от множеств этих иксов. Чтобы описать область её определения, вводят понятие полукольца множеств. Это какая-то система множеств, с какими-то свойствами (читаем свойства!). Таких полуколец можно задать тьму-тьмущую. Например, вот такая система из двух множеств $\{\varnothing, \mathbb R\}$ - полукольцо. И система из всех-всех-всех подмножеств прямой - тоже полукольцо. Система из четырёх множеств $K=\bigl\{\varnothing, \,\mathbb R,\, \{1,2,3\},\, \mathbb R\setminus\{1,2,3\}\bigr\}$ - тоже полукольцо. Ну и так далее.

Если уже задано какое-то полукольцо, то можно придумать тьму-тьмущую функций, каждая из которых будет мерой на этом полукольце. Т.е. функцией с какими-то свойствами (читаем свойства!).
Например (я сэкономлю), пусть у нас есть полукольцо из двух множеств $\{\varnothing,\, \mathbb R\}$.

Зададим функцию $\mu(\varnothing)=2$, $\mu(\mathbb R)=7$. Спросим себя: а мера ли она? Неотрицательность есть. Как насчёт счетной аддитивности? Ан нету её: берём два (их тут всего два) непересекающихся множества из полукольца, сумма их "мер" есть 9, а "мера" их объединения $\varnothing\cup\mathbb R=\mathbb R$ равна 7. Значит, функция, что мы ввели - не мера.

Зададим функцию $\mu(\varnothing)=0$, $\mu(\mathbb R)=7$. Вот она - мера (проверьте по свойствам!). А какова же мера множества $A=\{1,2,3\}$? А нет у этого множества меры никакой, оно не лежит в нашем полукольце, и мера $\mu$ на этом множестве никак не задана, оно неизмеримо.

Давайте возьмём побогаче полукольцо - $K$, которое из четырёх множеств. И меру я задам формулой (чем больше множеств, тем сложнее задавать меру вручную, приписывая меру каждому множеству). Например, так:

$$\mu(B)=\begin{cases}145, & \text{если } 2\in B, \cr 0, & \text{если } 2\not\in B.\end{cases}$$

Перепишите это определение, указав, чему равна мера каждого множества, принадлежащего $K$. Проверьте, что это - мера.

Вот теперь множество $A=\{1, 2, 3\}$ измеримо, и его мера равна 145, т.к. двойка принадлежит $A$.

Кстати, забавный эффект: мы вроде $\mu$ задавали только на множествах из полукольца $K$, состоящего из четырёх множеств. Однако вообще ничего не мешает считать эту же функцию заданной на любом множестве чисел. И она по-прежнему останется мерой. На возможности так расширить область определения некоторых мер многое в анализе основывается.

Итак, мерой называется любая функция, заданная на любом полукольце множеств, и обладающая свойствами (далее по тексту: надеюсь, что слова "неотрицательная" и "счётно-аддитивная" Вы понимаете).

Теперь, зачем она нужна. Ну, во-первых, разные меры нужны в жизни за разным. Например, когда Вы выходите из дома, мера под названием "длина" позволяет Вам судить о том, далеко ли магазин. Когда Вы приходите в хозмаг, мера под названием "площадь" позволяет Вам решить, сколько рулонов обоев нужно на Вашу комнату. Когда Вы смотрите биатлон, мера под названием "число точек в множестве" позволяет Вам посчитать, сколько раз промахнулась Слепцова. Ну и т.д. А во-вторых, зачем меры нужны в математике, Вы узнаете позднее

[Stotch]

Ого,надо обмозговать хорошенько.
А почему мера множества A={1,2,3} равна 145 и как вообще её считают??
и еще у меня в конспекте 3 понятия $m,\mu,\mu*$
m-мера
$\mu*$-внешняя мера
$\mu$-сужение меры $\mu*$ на совокупности всех $\mu*$-измеримых множеств
1)Что значит сужение там просто так написанно а что это значит
2)у внешней меры нет свойства счетной аддитивности не могли бы вы привести парочку примеров где чему какая мера равна чтобы увидеть разницу
3)И пример этого сужения?
Спасибо за ответ

[--mS--]

Stotch в сообщении #409993 писал(а):

Ого,надо обмозговать хорошенько.
А почему мера множества A={1,2,3} равна 145 и как вообще её считают??

И ради чего, спрашивается, я писала? Её не считают, её задают. Как хотят. Ну или почти как хотят. Почему 145 - так я захотела строчкой выше.

Stotch в сообщении #409993 писал(а):

и еще у меня в конспекте 3 понятия $m,\mu,\mu*$
m-мера
$\mu*$-внешняя мера
$\mu$-сужение меры $\mu*$ на совокупности всех $\mu*$-измеримых множеств
1)Что значит сужение там просто так написанно а что это значит
2)у внешней меры нет свойства счетной аддитивности не могли бы вы привести парочку примеров где чему какая мера равна чтобы увидеть разницу
3)И пример этого сужения?
Спасибо за ответ

Полагаю, что Вы должны сначала разобраться с базовыми понятиями. Книжки рекомендованы какие-то? Если выше найдёте, где написано про "продолжение", то поймёте и что такое "сужение".