Одно дифференциальное уравнение

[scwec]

В книге М.Я.Выгодского "Справочник по высшей математике" Издательство Наука 1977 г.
§ 480 "Изоклины" рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение
${\frac {dy} {dx}}=x^2+y^2$
Однако, решение этого уравнения в квадратурах не приводится.
Вопрос для знатоков: ПОЧЕМУ?

[mihailm]

может не выражается в квадратурах?

[V.V.]

А зачем? Ну, можно написать решение с помощью функций Бесселя. А какое в этом счастье?

[scwec]

Ну что же, как говорил А.Гайдар "Что такое счастье -это каждый понимал по-своему"(Чук и Гек).
Однако, Марк Яковлевич Выгодский, я думаю, не имел ввиду соображения V.V. Ближе к истине, конечно, mihailm . Вопрос в том, чтобы найти решение приведенного уравнения.
Все равно в каких функциях. Неужели это неинтересно?

[mihailm]

scwec в сообщении #409470 писал(а):

... Неужели это неинтересно?

(Оффтоп)

Неа, не восемнадцатый век все-таки на дворе то

[scwec]

Не понимаю, неужели решение такого простого уравнения не доступно
знатокам дифференциальных уравнений? И причем тут 18 век?
Слабо что ли?

[ИСН]

Ну какой может быть интерес в том, что доступно железяке?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=dy ... E2%2By%5E2

[scwec]

Привет заслуженному участнику.
Железяка и есть железяка.
Таких программ я понапишу очень много- я Вас уверяю (я только этим и занимаюсь)
Но какое отношение ЭТО имеет к математике?
НИКАКОГО. Не надо лапшу вешать на уши.
Давить на клавиши - это не то, что Вы бы хотели иметь в виду.

[Ales]

scwec в сообщении #409470 писал(а):

Все равно в каких функциях.

Что значит все равно в каких?
Можно обозначить решение какой нибудь буквой например: $y=Resh(x)$.
Вот и решение.
А найти значение функции $Resh(.)$ в любой точке и с какой угодно точностью можно из дифференциального уравнения численными методами.

Дифференциальные уравнения не обязаны решаться в квадратурах, а квадратуры не обязаны алгебраически выражаться через другие квадратуры.
В этом и заключается математика: не заниматься трудными, безнадежными и бесполезными задачами.

[maxmatem]

scwec

Цитата:

Не надо лапшу вешать на уши.
Давить на клавиши - это не то, что Вы бы хотели иметь в виду.

Просто очень часто совершенно не надо знать как аналитически задаются решение диф.уравнения. Вот когда например качественный анализ проводят(Ну я имею виду там фазовый портрет нарисовать, и тд), уж очень точное решение вам и не надо.

Цитата:

Слабо что ли?

А зачем напрягаться лишь для того чтобы напрячься? Конечно можно потешить своё самолюбие и попытаться найти решение этого д\у с помощью функции Бесселя.....но оно ничего содержательного и полезного не даст.

[GAA]

$y’=x^2 +y^2$ — частный случай специального уравнения Риккати $y’=ay^2 + bx^{\alpha}$. Данный частный случай в квадратурах не интегрируется (в книге Егоров А.И. «Уравнения Риккати» указано, что Лиувилль доказал: специальное уравнение Риккати интегрируется квадратурах только при $\alpha = \frac{4m}{1-2m}$, $m= \ \pm1, \pm2,\ldots$).

Заменой переменного $y=-\frac{1}{a}\frac{w_x’}{w}$ специальное уравнение Риккати сводится линейному уравнению второго порядка. В рассматриваемом случае — к уравнению $w’’ = -x^2w$, которое сводится заменой $w = \sqrt x z(x)$, при $x \ge 0$ и $w = \sqrt{- x} z(x)$, при $x < 0$ к $x^2z'' + xz' +(x^4-1/4)z=0$. Это уравнение сводится заменой $t=x^2/2$ к уравнению Бесселя $t^2 z’’ + tz’ + (t^2 - (1/4)^2) z=0$, которое имеет решение $z = C_1 J_{1/4}(t) + C_2 Y_{1/4}(t)$.

Перенесено из раздела «Математика (Общие вопросы)» в «Помогите решить / разобраться (М)». / GAA

Отредактировано вечером 7.02.2011: добавлена первоначально пропущенная замена.

[scwec]

Благодарю GAA за четкий исчерпывающий ответ. Спасибо.