уравнение Гельмгольца в n-мерии:
![$(-\Delta$+k^2)\phi(x)=\delta(x) $(-\Delta$+k^2)\phi(x)=\delta(x)](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/5/ac5c809232779550847bb15bdbb1fbe382.png)
Преобразование фурье:
![$ \phi(x)=\int \frac{{dp}e^{ipx}}{(2\pi)^n}\phi(p)$ $ \phi(x)=\int \frac{{dp}e^{ipx}}{(2\pi)^n}\phi(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/0/410b04e1f696a148d7f184bbe165ceb282.png)
Уравнение для фурье амплитуд:
![$\phi(p)=\frac{1}{p^2+k^2}$ $\phi(p)=\frac{1}{p^2+k^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/2/152339fbdd1b0c0266d8173b39e61bed82.png)
![$\phi(x)=\int\frac{dpe^{ipx}}{(2\pi)^n}\frac{1}{p^2+k^2}=\frac{nV_n}{(2\pi)^nx}\int^{\infty}_0\frac{dr\sin{rx}\,r^{n-2}}{r^2+k^2}$ $\phi(x)=\int\frac{dpe^{ipx}}{(2\pi)^n}\frac{1}{p^2+k^2}=\frac{nV_n}{(2\pi)^nx}\int^{\infty}_0\frac{dr\sin{rx}\,r^{n-2}}{r^2+k^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/4/b84b0d39f8089d39503f31ad0366c9a982.png)
где
![$V_n$ $V_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/1/e2133414a04ed674cd351aa027732c8082.png)
- объем шара еденичного радиуса,
![$r = |p|$ $r = |p|$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/8553f7c320e0a7b4797725609e80ddd782.png)
(хотя за константами следить нету смысла, это сейчас не важно). Если
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
- нечетное, то подынтегральная функция четная и можно распространить интегрирование по всей вещественной оси
Рассмотрим интеграл
![$I=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dre^{irx}r^{n-2}}{r^2+k^2}$ $I=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dre^{irx}r^{n-2}}{r^2+k^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/5/245a90e67e7a56ac78343cea76c2b46a82.png)
. Замкнем контур интегрирования сверху (
![$Im(r)>0$ $Im(r)>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/e/6fefbae39ce7c980d39334badc73719b82.png)
) тогда в области интегрирования один полюс первого порядка
![$r=ik$ $r=ik$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/2/562e30cb7cf4ddfa40b9797305dea0c082.png)
и
![$I=i2\pi\frac{pi(im)^{n-2}}{2(im)}e^{-kx}=-i^nm^ne^{-kx}$ $I=i2\pi\frac{pi(im)^{n-2}}{2(im)}e^{-kx}=-i^nm^ne^{-kx}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/5/555b4941c8063ec60c6b699bd5ea003c82.png)
Искомый интеграл находится как мнимая часть этого.
Получилось что с точностью до константы зависимость для любого нечетного
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
одна и та же -
![$\frac{e^{-kx}}{x}$ $\frac{e^{-kx}}{x}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/08978e3311012925a19902bba7d42a7082.png)
. Что, однако, верно только для
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
В чем ошибка и как правильно найти решение используя преобразование Фурье?