Фундаментальное решение оператора Гельмгольца (метод Фурье)

[2.5]

уравнение Гельмгольца в n-мерии:
$(-\Delta$+k^2)\phi(x)=\delta(x)
Преобразование фурье:$ \phi(x)=\int \frac{{dp}e^{ipx}}{(2\pi)^n}\phi(p)$
Уравнение для фурье амплитуд: $\phi(p)=\frac{1}{p^2+k^2}$
$\phi(x)=\int\frac{dpe^{ipx}}{(2\pi)^n}\frac{1}{p^2+k^2}=\frac{nV_n}{(2\pi)^nx}\int^{\infty}_0\frac{dr\sin{rx}\,r^{n-2}}{r^2+k^2}$ где $V_n$ - объем шара еденичного радиуса, $r = |p|$ (хотя за константами следить нету смысла, это сейчас не важно). Если $n$ - нечетное, то подынтегральная функция четная и можно распространить интегрирование по всей вещественной оси
Рассмотрим интеграл $I=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{dre^{irx}r^{n-2}}{r^2+k^2}$ . Замкнем контур интегрирования сверху ( $Im(r)>0$ ) тогда в области интегрирования один полюс первого порядка $r=ik$ и $I=i2\pi\frac{pi(im)^{n-2}}{2(im)}e^{-kx}=-i^nm^ne^{-kx}$ Искомый интеграл находится как мнимая часть этого.
Получилось что с точностью до константы зависимость для любого нечетного $n$ одна и та же - $\frac{e^{-kx}}{x}$. Что, однако, верно только для $n=3$
В чем ошибка и как правильно найти решение используя преобразование Фурье?

[Bulinator]

2.5 в сообщении #409481 писал(а):

$\phi(x)=\int\frac{dpe^{ipx}}{(2\pi)^n}\frac{1}{p^2+k^2}=\frac{nV_n}{(2\pi)^nx}\int^{\infty}_0\frac{dr\sin{rx}\,r^{n-2}}{r^2+k^2}$ где $V_n$ - объем шара еденичного радиуса

как Вы получили последнее равенство? Всмысле, $px\neq rx$ там еще $\cos{\theta}$ есть.
А что есть $m$ в

2.5 в сообщении #409481 писал(а):

$I=i2\pi\frac{pi(im)^{n-2}}{2(im)}e^{-kx}=-i^nm^ne^{-kx}$

-- Вс фев 06, 2011 01:57:43 --

2.5 в сообщении #409481 писал(а):

Получилось что с точностью до константы зависимость для любого нечетного одна и та же - .

Это неверно уже исходя из того, что при $k=0$ решение должно давать гармоническую функцию- $r^{-n+2}$.

[2.5]

Если подробнее то там $px=rxcos\theta$ однако после интегрирования по $\theta$ экспонента сворачивается в синус .
Прошу прощения, $m$ ровно то же самое что $k$, перепутал (не могу найти как отредактировать).
А то что ответ неправильный я и так понимаю, вопрос - как сделать правильно -_-

[Munin]

В справочнике Полянина нет? Решение для $n$-мерного уравнения Д'Аламбера я там у него видел.

[2.5]

Munin Спасибо, там действительно есть.
При нечетном $n$ ответ такой: $\frac{k^{\frac{n-2}{2}}}{4(2\pi)^{\frac{n-2}{2}}sin(\frac{\pi n}{2})}r^{-\frac{n-2}{2}}J_{-\frac{n-2}{2}} $
Откуда там берутся бессели я понимаю (можно идти и другим способом), однако хотелось бы решить задачу используя именно преобразование Фурье.

[ewert]

2.5 в сообщении #409481 писал(а):

Замкнем контур интегрирования сверху

При $n>3$ по вычетам считать нельзя -- множитель при экспоненте не стремится к нулю, да и вообще этот интеграл не существует даже в смысле главного значения.

[2.5]

ewert я полагаю, что его можно регуляризовать просто дописав $e^{-\epsilon r}$ в нужном месте. По крайней мере, в случае оператора Лапласа в нечетных размерностях это давало правильный результат даже для интегралов вида $\int^\infty_0 sin(kr)k^ndk$ :) (хотя вот в четных была беда, гм)

[Munin]

Решение самой задачи в Фурье-изображениях элементарно, но путь от оригиналов до изображений и обратно - очень длинен (пропорционален $n$). Так что не уверен, что проходить его в явном виде - такая уж ценная вещь.

[ewert]

2.5 в сообщении #409664 писал(а):

я полагаю, что его можно регуляризовать просто дописав $e^{-\epsilon r}$ в нужном месте.

Этого я не понимаю -- там ведь на самом деле не $e^{-\epsilon r}$, а $e^{-\epsilon |r|}$, и при чём тогда вычеты. Впрочем, я всех этих трюков уже не помню.

[2.5]

Munin в сообщении #409666 писал(а):

Решение самой задачи в Фурье-изображениях элементарно, но путь от оригиналов до изображений и обратно - очень длинен (пропорционален $n$). Так что не уверен, что проходить его в явном виде - такая уж ценная вещь.

Нет.
Как я уже говорил мои нестрогие преобразования в случае оператора Лапласа в нечетных размерностях давали правильный ответ (выкладки от $n$ фактически не зависили) однако там и в случае четных $n$ ответ хоть и получался неверным (коэффициент, почему-то, при вычислении оказывался нулем)
можно было увидеть правильную зависимость от $r$ ( $r^{2-n}$ ), а коэффициент вычислить другим способом.

-- Вс фев 06, 2011 15:42:35 --

ewert в сообщении #409669 писал(а):

Этого я не понимаю -- там ведь на самом деле не $e^{-\epsilon r}$, а $e^{-\epsilon |r|}$

Да, здесь Вы, видимо, правы. Я был слишком неаккуратен и не думаю что можно придать точный смысл такой регуляризации в данном случае. Выходит что мои "правильные ответы" скорее совпадения. И тем не менее, можно ли все-таки решить задачу через фурье или нет? :)

[Munin]

2.5 в сообщении #409670 писал(а):

выкладки от $n$ фактически не зависили

Не понимаю, почему. Преобразовать по Фурье по всем координатам последовательно - дело очень долгое (туда-сюда лазить по таблицам Фурье от спецфункций) и от $n$ зависящее очень сильно. Возможно, вам повезло с тривиальным случаем?

[2.5]

Munin
Просто в этой задаче все сферически симметричное.

[Munin]

И что? Или вы знаете какое-то сферически-симметричное преобразование Фурье для произвольной размерности? Я не знаю.

[2.5]

Munin
Я не вполне понимаю что Вы имеете в виду. Посмотрите мое первое сообщение - я там все сделал в случае произвольного $n$, ну подумаешь неправильно -_-.

[Munin]

В таком случае, преобразование Фурье для $n$-мерного пространства - это

$$\phi(x)=\underbrace{\idotsint}_n\frac{dp^n e^{ip_ix_i}}{(2\pi)^n}\phi(p)$$