Развёртка треугольника!

[Pashka]

Пусть на ориентированной плоскости дан положительно ориентированный треугольник АВС (обход по его вершинам задаётся против часовой стрелки). Рассмотрим точки плоскости $A_1,\,B_1,\,C_1$ такие что угол между векторами $AB$ и $AB_1=\alpha$, $BC$ и $BC_1=\beta$, $CA$ и $CA_1=\gamma$.
Пусть так же $\frac{AB_1}{AB}=k_1$, $\frac{BC_1}{BC}=k_2$ и $\frac{CA_1}{CA}=k_3$.
Таким образом мы получаем развёртку треугольника АВС. Другими словами мы поворачиваем каждую сторону треугольника вокруг его вершин на углы $\alpha,\beta,\gamma$ и сжимаем (растягиваем) полученные отрезки в $k_i$ раз!
Так чем же полезна данная конструкция? Да тем, что она на комплексной плоскости легко задаётся аналитически. То есть зная комплексные координаты вершин треугольника АВС и углы поворотов $\alpha,\beta,\gamma$ а так же коэффициенты $k_i$ можно легко получить координаты точек $A_1,\,B_1,\,C_1$. При этом с помощью её можно доказать весьма интересные теоремы, являющиеся обобщениями уже известных.
И так, рассмотрим развёртку положительно ориентированного треугольника АВС описанную выше. Точки $A_1,\,B_1,\,C_1$ являются вершинами некоторого треугольника $A_1B_1C_1$ который может быть как положительной так и отрицательной ориентации.
Отразим точки $A_1,\,B_1,\,C_1$ относительно сторон AC, AB и BC треугольника АВС соответственно. Получим точки $A_2,\,B_2,\,C_2$ являющиеся вершинами некоторого треугольника $A_2B_2C_2$ который так же может быть как положительной так и отрицательной ориентации.
Теорема:для площадей $S_1\ ,S_2$ и $S$ треугольников $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ и ABC справедлива следующая формула:

$$\frac{pS_1+lS_2}{S}=2k_1k_2\cos{(\alpha-\beta)}+2k_2k_3\cos{(\beta-\gamma)}+2k_1k_3\cos{(\alpha-\gamma)}-2k_1\cos{\alpha}-2k_2\cos{\beta}-2k_3\cos{\gamma}+2$$

где p=l=1 в случае положительной ориентации треугольников $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ и -1 в противном случае.
Весьма интересная теорема. Например, пусть $\alpha=\beta=\gamma=30^0$ и $k_1=k_2=k_3=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Тогда точки $A_1,\,B_1,\,C_1$ будут вершинами внутреннего треугольника Наполеона,а точки $A_2,\,B_2,\,C_2$ - вершины внешнего треугольника Наполеона. Согласно теореме получим:

$$\frac{S_2-S_1}{S}=1$$

. Внутренний треугольник Наполеона всегда отрицательно ориентирован, а внешний - положительно. Таким образом данное свойство треугольников Наполеона всего лишь частный случай гораздо более общего факта:)
Я написал всего одну теорему, касающуюся развёртки треугольника, но доказал уже гораздо больше.
Хотелось бы знать встречали ли вы что-нить похожее и вообще ваше мнение по этому поводу! Спасибо!

[migmit]

По-моему, какие-то достаточно детские упражнения. Олимпиадную задачку из этого сделать можно, но не более.

[Pashka]

Я и не говорил что это претендует на что-то большее! Это элементарная математика! или тут нужно только писать о высшей?

[migmit]

Ну, вы просили мнение.

[Dimoniada]

Pashka, напишите как это преобразование выглядит в формулах комплексной записи (ведь вы каждую сторону вращаете относительно разных вершин). По-мойму, ваше преобразование напоминает композицию нескольких поворотных гомотетий.

[Pashka]

Это не совсем преобразование)
Допусти вершины А, В и С треугольника АВС имеют комплексные координаты а, b, c. Тогда координаты вершин $A_1,\, B_1,\,C_1$ можно найти из след. равенств:

$$a_1=(b-a)p+a$$

$$b_1=(c-b)q+b$$

$$c_1=(a-c)r+c$$

где

$$p=k_1(\cos{(\alpha})+i\sin{(\alpha)})$$

$$q=k_2(\cos{(\beta})+i\sin{(\beta)})$$

$$r=k_3(\cos{(\gamma})+i\sin{(\gamma)})$$