Несколько вопросов по матанализу

[Krull]

Итак, пусть $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, определённости ради положим $\Omega$ открытым. Пусть дано отображение $f \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$. Верно ли, что, если $\forall x \in \Omega$ $|Df(x)| \ne 0$, то $f$ - инъективное отображение?

Вроде бы интуитивно представляется верным... но не уверен. А вот верно ли следующее ещё более сильное утверждение?

Пусть, по-прежнему, $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ и $\Omega$ открыто. Пусть $f : \Omega \to \mathbb{R}^n$ - непрерывное отображение. Пусть $\forall p \in \Omega$ $\exists U \in \mathcal{N}(p)$, что отображение $f|_U$ инъективно. Верно ли тогда, что $f$ - инъективно?

Факт непрерывности $f$ важен, для разрывного контрпримером будет, например, $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \{x\}$. Вот на непрерывную функцию придумать контрпример не удалось.

И ещё одна вещь, некий многомерный аналог теоремы Ролля.

Пусть $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, $\Omega$ открыто. Пусть дано отображение $f \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$. Предположим, что найдутся такие две точки $a, b \in \Omega$, причём $a \ne b$, что $f(a) = f(b)$. Предположим, что существует линия $l$, соединяющая $a$ с $b$ и целиком лежащая в $\Omega$. Верно ли тогда, что на $l$ существует такая точка $p$, что $|Df(p)| = 0$?
Влияет ли каким-нибудь образом на верность данного утверждения (если оно, конечно, верно) бесконечность линии $l$ (а то кто знает, какое там строение у $\Omega$)?

Заранее спасибо за ответы и за, может быть, рекомендованную литературу

[Padawan]

Всё неверно. Возьмите на плоскости прямоугольник и закрутите его в кольцо с перекрытием.

[paha]

Krull в сообщении #408065 писал(а):

Итак, пусть $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$, определённости ради положим $\Omega$ открытым. Пусть дано отображение $f \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$. Верно ли, что, если $\forall x \in \Omega$ $|Df(x)| \ne 0$, то $f$ - инъективное отображение?

Неверно. Вот пример: $\Omega=\mathbb{C}\setminus 0\subset\mathbb{R}^2$, $f(z)=z^2$.

Однако, если образ $f(\Omega)$ односвязен, то, кажется, верно.

[Padawan]

paha в сообщении #408107 писал(а):

Однако, если образ $f(\Omega)$ односвязен, то, кажется, верно.

Нет

[paha]

Padawan в сообщении #408124 писал(а):

Нет

это погружение прямоугольника?

-- Ср фев 02, 2011 11:38:53 --

мне кажется, что в этом образе есть две точки, прообразы которых -- интервалы

-- Ср фев 02, 2011 12:11:56 --

Да, неверно... сам построил такое погружение диска в плоскость... впрочем, оно известно. Есть в книжке Элиашберга "Введение в h-принцип"

-- Ср фев 02, 2011 12:13:22 --

Krull
Так что ответ на все три вопроса: "нет"

[Krull]

Гм... ясно... Спасибо, paha, за поучительный пример. Вот пример Padawanа мне остаётся неясен, к сожалению. Ваша картинка - это $\Omega$ или $f(\Omega)$ ?

А что будет в случае, если $\Omega$ - выпуклое множество? будет ли оно верно?

[paha]

Krull в сообщении #408150 писал(а):

А что будет в случае, если $\Omega$ - выпуклое множество? будет ли оно верно?

нет... Даже если $\Omega$ -- открытый диск. Мне просто лень рисовать.

Можете открыть книжку Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в Н-принцип МЦНМО, 2004 на 15 странице и посмотреть на отображение диска в плоскость с односвязным образом:)

-- Ср фев 02, 2011 12:26:33 --

хотя, если Вас устроит выпуклое $\Omega$ и неодносвязный образ, то к Вашим услугам верхняя полуплоскость $\Omega=\{z=x+iy:y>0\}$ и отображение $f(z)=z^3$

[Krull]

Отлично, спасибо большое!