Итак, пусть

, определённости ради положим

открытым. Пусть дано отображение

. Верно ли, что, если

, то

- инъективное отображение?
Вроде бы интуитивно представляется верным... но не уверен. А вот верно ли следующее ещё более сильное утверждение?
Пусть, по-прежнему,

и

открыто. Пусть

- непрерывное отображение. Пусть

, что отображение

инъективно. Верно ли тогда, что

- инъективно?
Факт непрерывности

важен, для разрывного контрпримером будет, например,

,

. Вот на непрерывную функцию придумать контрпример не удалось.
И ещё одна вещь, некий многомерный аналог теоремы Ролля.
Пусть

,

открыто. Пусть дано отображение

. Предположим, что найдутся такие две точки

, причём

, что

. Предположим, что существует линия

, соединяющая

с

и целиком лежащая в

. Верно ли тогда, что на

существует такая точка

, что

?
Влияет ли каким-нибудь образом на верность данного утверждения (если оно, конечно, верно) бесконечность линии

(а то кто знает, какое там строение у

)?
Заранее спасибо за ответы и за, может быть, рекомендованную литературу
