Актуальные бесконечно малые

[Tafiril]

Существуют ли актуальные бесконечно малые? Если нет, то как это опровергнуть?

(Оффтоп)

думаю, что никак

Tafiril заблокирован за создание бессодержательных тем, сообщений и как клон ранее заблокированного Tarinal. / GAA, 2.02.2011

[ИСН]

В одних науках есть, в других нет. В обычном матане - нет.

[Tafiril]

Цитата:

В одних науках есть, в других нет. В обычном матане - нет.

а почему?- по-моему, очень удобнейшая вещь

[ИСН]

Нравится - пользуйтесь. Есть нестандартный анализ.
Но на экзаменах пока что спрашивают обычный.

[Dialectic]

Tafiril в сообщении #407863 писал(а):

Существуют ли актуальные бесконечно малые? Если нет, то как это опровергнуть?

(Оффтоп)

думаю, что никак

Было бы не плохо определиться с понятием "актуальной бесконечно малой"? Актуальность и потенциальность - это все-таки философские слова. По крайней мере так, насколько я понимаю склонны считать многие математики (на этом форуме).

-- Вт фев 01, 2011 22:41:27 --

ИСН в сообщении #407877 писал(а):

Нравится - пользуйтесь. Есть нестандартный анализ.
Но на экзаменах пока что спрашивают обычный.

А что в обычном называется бесконечно малой величиной?
Число? - нет. Функция?... да, пожалуй... Но сама функция это просто функция: множество особого рода (бинарное отношение на множествах). Считать множество бесконечно малой - как-то нескладно... Что же тогда считается бесконечно малой? Множество рассматриваемое в одном из своих аспектов? Фактически, насколько я понимаю, говоря о пределах и о бесконечно -малой в частности мы говорим о трёх объектах:
1. неком можестве (функция)
2. одном из его аргументов (то, к чему стремится переменная x)
3. о чем-то третьем. Иногда это третье может быть конкретным объектом из множества значений функции, а иногда - совершенно не понятно чем... Некой "бесконечностью". Т.е. "не тем, не тем, не тем - ни каким другим элементом".
Почему тогда не говорят: "три объекта называются находящимися друг с другом в предельном отношении, если для любого епсилон больше нуля..."?

[Gortaur]

Бесконечно малая - функция, либо последовательность, см. определение.

[Dialectic]

Gortaur в сообщении #407933 писал(а):

Бесконечно малая - функция, либо последовательность, см. определение.

Да знаю я эти определения. Я не понимаю их смысла.
Вот есть функция: $y=x^2-4$
Она что бесконечно малая? Да она просто функция, и никакой бесконечно малой не является .Она станет её когда мы её начнём рассматривать под определенным углом.
Скажем будем интересоваться вопросом о том, как она ведет себя в окрестности двойки. Ну вот видете? Нам пришлось произнести дополнительные слова "двойка".
А в пределе, при x стремящемся к двойке она стремится к нулю. Таким образом появляется ещё один объект "нуль". Итак: говорить о пределе можно только тогда, когда участвуют как минимум три объекта: функция, значение аргумента, и некий третий объект - предел функции.
Вот предельная операция - она определена как я понимаю - для ТРЁХ разных объектов. То что там определение даётся через кванторы - это ничего не объясняет по сути дела.

[Lazy]

В "обычном" анализе нет просто "бесконечно малой". Есть "бесконечно малая в сравнении с..."

И как же Вы знаете определения, если не понимаете их смысл? )

P.S.: Кванторы, кстати, не призваны Вам ничего объяснять. Это просто чтобы много лишних слов писать не приходилось каждый раз.

[Null]

Просто бесконечно малая это "бесконечно малая в сравнении с 1"

[Tafiril]

Цитата:

В "обычном" анализе нет просто "бесконечно малой". Есть "бесконечно малая в сравнении с..."

с нуловской единицой?

Цитата:

И как же Вы знаете определения, если не понимаете их смысл? )

смысл то я как раз уразумеваю...

Цитата:

P.S.: Кванторы, кстати, не призваны Вам ничего объяснять. Это просто чтобы много лишних слов писать не приходилось каждый раз.

а вот оно че

[Dialectic]

Lazy в сообщении #407968 писал(а):

В "обычном" анализе нет просто "бесконечно малой". Есть "бесконечно малая в сравнении с..."

Я знаю другое определение: переменная величина $X_n$ имеющая своим пределом нуль - называется бесконечно малой величиной.

Lazy в сообщении #407968 писал(а):

И как же Вы знаете определения, если не понимаете их смысл? )

Да вот так... Потом как нибудь можно обсудить...
Вот скажите:предел связывает три объекта или нет?
Если "нет", то просьба ответить: какой предел имеет функция: $y=x^2-9 $?
Вы спросите "и все"? Я скажу "да " и все...

Lazy в сообщении #407968 писал(а):

P.S.: Кванторы, кстати, не призваны Вам ничего объяснять. Это просто чтобы много лишних слов писать не приходилось каждый раз.

Ну и хорошо.

[Lazy]

Dialectic в сообщении #407913 писал(а):

Фактически, насколько я понимаю, говоря о пределах и о бесконечно -малой в частности мы говорим о трёх объектах:
1. неком можестве (функция)
2. одном из его аргументов (то, к чему стремится переменная x)
3. о чем-то третьем. Иногда это третье может быть конкретным объектом из множества значений функции, а иногда - совершенно не понятно чем... Некой "бесконечностью". Т.е. "не тем, не тем, не тем - ни каким другим элементом".
Почему тогда не говорят: "три объекта называются находящимися друг с другом в предельном отношении, если для любого епсилон больше нуля..."?

Ну вот Вы же тут три объекта связать хотите? Я и говорю, что нет при этом просто б.м., а есть бесконечно малые "в сравнении с... некоторой другой функцией".

Касаемо бесконечно малой, например, $1/n$ при $n \to \infty$ что можно сказать? Бесконечность же не число.

Предел связывает три объекта: функцию, предельное значение и точку. Если Вы предел функции в точке имели в виду, конечно... )

[Dialectic]

Lazy в сообщении #407994 писал(а):

Ну вот Вы же тут три объекта связать хотите? Я и говорю, что нет при этом просто б.м., а есть бесконечно малые "в сравнении с... некоторой другой функцией".

А в чем смысл понятия "бесконечно малая величина"?
В философии есть такое слово "сущность", согласно классической теории познания- познать предмет, это помимо прочего - познать его сущность. Вот в чем сущность понятия "бесконечно малая величина"? Нельзя же все списывать на операциональный подход. Берем там что-то опереируем и говорим "вот здесь речь идет о бесконечно малых величинах". Так что такое по сущности бесконечно малые величины? Мы уже ранее выяснили, и я с этим полностью согласен - это функции. Теперь вопрос: какой аспект рассмотрения функции есть тот, который фиксирует нам понятие БМВ?

[Lazy]

Опять, на том же тривиальном примере: $1/n$ при $n \to \infty$
Бесконечность, как я уже отметил, формально не число (хотя я ее предпочитаю понимать для себя как "число, больше любого возможного", но меня уже тут на форуме тыкали в то, что это все ерунда, ибо числа больше наибольшего, дескать, нет... ну да черт с ним). Так вот, деля единицу на любое сколь угодно большое число, мы все равно не получим никогда нуля в точности. Однако, будем получать все более и более маленькие числа (в сравнении их друг с другом). Как тут еще сказать? "В пределе" мы получим столь малые числа, что их можно считать почти нулем. Такая величина и есть "бесконечно малая при $x$ стремящемся к... "

Как бы вот.

Ну и если считать функцию б.м. в сравнении с другой функцией, то то же самое - значения одной из них пренебрежимо малы (если они имеют разный порядок, конечно). В том смысле, что (Вы ведь знаете?) существует еще и порядок малости величины. Функция $f(x)$ является б.м. более высокого порядка, чем $g(x)$... И т. д.

[Dialectic]

Lazy в сообщении #408012 писал(а):

Так вот, деля единицу на любое сколь угодно большое число, мы все равно не получим никогда нуля в точности.

Как это понять "сколь угодно большое число"? Если оно число - то вот оно число, а Ваша фраза предпологает, как будто-бы числа немножечко больше самих себя.
Число не может никуда возрастать. Число находится так сказать "на своем месте".

Lazy в сообщении #408012 писал(а):

Однако, будем получать все более и более маленькие числа (в сравнении их друг с другом). Как тут еще сказать?
"В пределе" мы получим столь малые числа, что их можно считать почти нулем. Такая величина и есть "бесконечно малая при $x$ стремящемся к... "
Как бы вот.

Так нет - вы тут охарактеризовали процесс: тогда нужно сказать "бесконечно малая - это определенный процесс".
Какой именно процесс? В чем суть этого процесса? фактически само слово "процесс" есть неявный перефраз понятия "переменной" - т.е. возвращения на круги своя...
Бесконечно малая величина, разумеется функция. Но вот заметте: возьмем функцию которая имеет 100 корней на R.
Эта функция, если угодно - аж в 100 различных своих "сторонах" - может являться нам как бесконечно малая. Понимаете? Аж в 100! ПОэтому мы должны сказать, что сама эта функция, при тех и этих условиях - может выступить как бесконечно малая разными способами. Таким образом выявить "бесконечно малую", это фиксировать тот аспект соотношения функции, объекта именуемого "нуль" и какого-то другого объекта (к которому стремится переменная величина). Т.е. опять таки - как минимум трех объектов.
Вот и нужно как-то выразить суть этой связи.