Как связать две обратимые операции на множестве?

[arseniiv]

Dialectic в сообщении #407792 писал(а):

Множество М - является абелевой группой относительно каждой из операций

Это уже значит, что $M$ с этими операциями кольцо, и даже поле! И сразу работает лемма, которую показал Portnov.

-- Вт фев 01, 2011 22:56:45 --

Dialectic в сообщении #407802 писал(а):

Предложите идею.

Ну просто определите вместо умножения операцию $*$ как svv. Над любой группой по сложению, т. к. она определяется только через него. И проверяете, будет ли она условиям группы соответствовать. Ассоциативна? Нет. Дальше можно не искать, хотя нейтрального элемента она не имеет. Но ещё дальше уже точно нет смысла искать, каждый ли элемент по ней обратим, потому что нельзя определить обратные элементы без нейтрального. Группы по $*$ не вышло. А лемма предупреждала!

[Dialectic]

arseniiv в сообщении #407805 писал(а):

Dialectic в сообщении #407792 писал(а):

Множество М - является абелевой группой относительно каждой из операций

Это уже значит, что $M$ с этими операциями кольцо, и даже поле! И сразу работает лемма, которую показал Portnov.

Не могу понять почему? В определение кольца включается дистрибутивность. Мы дистрибутивность - не включали, так почему оно кольцо?

[arseniiv]

Dialectic в сообщении #407812 писал(а):

Не могу понять почему? В определение кольца включается дистрибутивность. Мы дистрибутивность - не включали, так почему оно кольцо?

Потому что она включается в определение группы.

[Dialectic]

arseniiv в сообщении #407852 писал(а):

Dialectic в сообщении #407812 писал(а):

Не могу понять почему? В определение кольца включается дистрибутивность. Мы дистрибутивность - не включали, так почему оно кольцо?

Потому что она включается в определение группы.

В группе, насколько мне известно - одна операция а не две. Дистрибутивность же связывает - две операции. Чтобы говорить о кольце, нужно говорить насколько я понимаю помимо "групп" ещё и о связи операций.

[arseniiv]

Ой, кажется, дошло. Я её всегда с ассоциативностью путаю. Да, дистрибутивности у нас нет, и потому это не кольцо. Но указанную вами модель мы уже всё равно исследовали. Группа по $*$ не вышла. Вы можете попробовать найти искомое, хотя вдруг там есть какая-нибудь лемма для неколец.

-- Вт фев 01, 2011 23:57:52 --

Можно взять группу $\langle G; \, + \rangle$ и устроить какой-нибудь (не тривиальный) автоморфизм, переводящий $+$ в $*$ $f(a + b) = f(a) * f(b)$. Ваши условия выполнены, но соотношение между $+$ и $*$ типа дистрибутивности вряд ли сыщется.

-- Ср фев 02, 2011 00:02:08 --

Можно добыть автоморфизм, например, так: $f(a) = g + a$; он будет тривиальным только если $g = 0$.
Кстати, зря я о кольце говорил ещё и потому, что группа по сложению должна быть абелева (коммутативная). А в вашем случае какие хотите группы — с коммутативностью али без?

[Dialectic]

arseniiv в сообщении #407868 писал(а):

Можно взять группу $\langle G; \, + \rangle$ и устроить какой-нибудь (не тривиальный) автоморфизм, переводящий $+$ в $*$ $f(a + b) = f(a) * f(b)$. Ваши условия выполнены, но соотношение между $+$ и $*$ типа дистрибутивности вряд ли сыщется.

Печально если так... Вот хотелось бы придумать что-то наподобие анализа: ввести множество со связанными операциями, затем понятие предела в этом множестве, производной, интеграла и т.д. Но конечно - если операции никак не связанны, то изучить это множество будет практически невозможно.

-- Вт фев 01, 2011 22:10:17 --

arseniiv в сообщении #407868 писал(а):

Кстати, зря я о кольце говорил ещё и потому, что группа по сложению должна быть абелева (коммутативная). А в вашем случае какие хотите группы — с коммутативностью али без?

Да желательно бы с коммутативностью, хотя бы относительно одной операции.

[arseniiv]

Dialectic в сообщении #407888 писал(а):

Печально если так... Вот хотелось бы придумать что-то наподобие анализа: ввести множество со связанными операциями, затем понятие предела в этом множестве, производной, интеграла и т.д. Но конечно - если операции никак не связанны, то изучить это множество будет практически невозможно.

А, в этом плане вряд ли что-то выйдет. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%81%D0%B0

[Dialectic]

arseniiv в сообщении #407950 писал(а):

Dialectic в сообщении #407888 писал(а):

Печально если так... Вот хотелось бы придумать что-то наподобие анализа: ввести множество со связанными операциями, затем понятие предела в этом множестве, производной, интеграла и т.д. Но конечно - если операции никак не связанны, то изучить это множество будет практически невозможно.

А, в этом плане вряд ли что-то выйдет. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%81%D0%B0

Мне кажется эта теорема не очень тут подходит.
Ведь наша структура не является ни телом, ни полем, а кроме того, мы не расширяем множество вещественных чисел. Мы строим свою структуру, которая её и не обязанна быть изоморфной. Операции "предельного перехода" - мы определим (если конечно удастся) - иначе, чем они определены в R. Главное найти потом нормальные модели сего множества... Единственное, чт оконечно хотелось бы взять от R -так это только его мощность.

[arseniiv]

Наша структура не является полем, и тем хуже для предельных переходов. Просто у меня ощущение, чтопри достраивании получится какая-нибудь изоморфная гиперкомплексным числам алгебраическая система.

[Portnov]

Ну, ничего изоморфного гиперкомплексным числам не получится точно, потому что в них ноль необратим, а вы хотите обратимый ноль.

[paha]

arseniiv в сообщении #407977 писал(а):

тем хуже для предельных переходов

где Вы топологию там узрели?

[arseniiv]

Не знаю.