Предел

[Impi]

Дано
$\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt[5]{1+x^8-2x^4}}{\sqrt[6]{2x^7+x^8-1}-\sqrt[15]{5-6x^24+18x^19}}$
(под последним корнем степень 24 и 19, почему-то вторая циферка слетает вниз)
Понятно, что выражение нужно разделить на $ \sqrt[5]{x^8} = \sqrt[15]{x^24}=\sqrt[30]{x^58}$
В знаменателе будет$ \frac{x}{\sqrt[5]{x^8}}+\sqrt[5]{1-\frac{2}{x^4}+\frac{1}{x^8}}$
В знаменателе вычитаемое будет выглядеть $\sqrt[15]{-6+\frac{18}{x^5}+\frac{5}{x^24}}$
а как внести под знак уменьшаемого $\sqrt[30]{x^58}$
то есть как преобразовать $\sqrt[6]{2x^7+x^8-1}$ в выражение с $\sqrt[30]{Z}$
или тут можно как-то проще обойти...?

[Maslov]

Impi в сообщении #407778 писал(а):

(под последним корнем степень 24 и 19, почему-то вторая циферка слетает вниз)

Чтобы не слетало, надо выражения в фигурные скобки брать:
$x^{24}$

$x^{24}$

-- Вт фев 01, 2011 19:22:09 --

Impi в сообщении #407778 писал(а):

Понятно, что выражение нужно разделить на $ \sqrt[5]{x^8} = \sqrt[15]{x^24}=\sqrt[30]{x^58}$

Не $\sqrt[30]{x^{58}}$, а $\sqrt[30]{x^{48}}$

Impi в сообщении #407778 писал(а):

то есть как преобразовать $\sqrt[6]{2x^7+x^8-1}$ в выражение с $\sqrt[30]{Z}$

$\sqrt[6]x = \sqrt[30]{x^5}$

[Tafiril]

сразу подставляйте актуальную бесконечность и считайте

[Impi]

Tafiril в сообщении #407861 писал(а):

сразу подставляйте актуальную бесконечность и считайте

..подставил и что с этим делать?
$\lim_{x\to\infty} \frac{\infty+\sqrt[5]{1+\infty^8-2\infty^4}}{\sqrt[6]{2\infty^7+\infty^8-1}-\sqrt[15]{5-6\infty^{24}+18\infty^{19}}}$

[Tafiril]

после хитроумных преобразований получается ноль!

[Impi]

Tafiril в сообщении #407922 писал(а):

после хитроумных преобразований получается ноль!

в знаменателе может быть, бесконечность минус бесконечность, а в числителе сумма..ибо бесконечность в 8ой явно больше двойной бесконечности в 4ой..и под корней выходит тоже плюс..
что вы делали с пределом оО

[Tafiril]

Оо))- точнее бесконечность- тут надо просто уметь считать бесконечности

[Toucan]

Tafiril, предупреждение за бессодержательные сообщения.

[Gortaur]

Tafiril
И при этом проверить перед тем как написать и не ошибаться.

[Lazy]

Вы с ума сошли? Подставлять бесконечность... Вы таких людей не слушайте, это вредно. Еще с уверенностью скажите, что предел вида $\infty / \infty = 1$.

[Tafiril]

Цитата:

$\infty / \infty = 1$

ДА!

[Maslov]

Impi, Вы же правильно начали.
Почему остановились?

[Фантом]

В каком-то смысле Tafiril прав - если делать это аккуратно. Очевидно, что для $P_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots$ при $x \to \infty$ верно утверждение, что $P_n(x) \sim a_0 x^n$ (кроме, естественно случая $a_0 = 0$). Поэтому

$\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt[5]{1+x^8-2x^4}}{\sqrt[6]{2x^7+x^8-1}-\sqrt[15]{5-6x^{24}+18x^{19}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt[5]{x^8}}{\sqrt[6]{x^8}-\sqrt[15]{-6x^{24}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{8/5}}{\sqrt[15]{6} x^{8/5}}}=6^{-1/15}$.

[Impi]

Maslov в сообщении #408034 писал(а):

Impi, Вы же правильно начали.
Почему остановились?

Да сбили тут "умные" люди

Фантом в сообщении #408075 писал(а):

$\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt[5]{1+x^8-2x^4}}{\sqrt[6]{2x^7+x^8-1}-\sqrt[15]{5-6x^{24}+18x^{19}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x+\sqrt[5]{x^8}}{\sqrt[6]{x^8}-\sqrt[15]{-6x^{24}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^{8/5}}{\sqrt[15]{6} x^{8/5}}}=6^{-1/15}$.

Я правильно понял, что вы оставили только то что можно потом сократить?)(каким-то, мне не ясным, способом, уничтожив все остальное ) )

[Фантом]

Фантом в сообщении #408075 писал(а):

Я правильно понял, что вы оставили только то что можно потом сократить?)(каким-то, мне не ясным, способом, уничтожив все остальное )

Нет, причем я даже указал способ "уничтожения всего остального".

Давайте возьмем более простой пример. Пусть у нас есть выражение вида $A x^5 + B x^3$. Какое слагаемое будет расти быстрее при $x \to \infty$? Первое, причем от конкретных значений коэффициентов $A$ и $B$ это не зависит (лишь бы $A \ne 0$).

Теперь рассмотрим предел вида $\lim_{x \to \infty} \frac{A x^5 + B x^3}{f(x)}$, где $f(x)$ - произвольная "хорошая" функция. Какое из двух слагаемых числителя будет значимым для определения значения предела? Тоже первое: если этот предел существует, то его можно разбить на сумму двух пределов, причем в этом случае $\lim_{x \to \infty} \frac{Bx^3}{f(x)} = 0$.

Теперь понятнее? Поведение и числителя, и знаменателя в интересующем Вас пределе определяется членом с наибольшим показателем степени. Все остальные растут медленнее и по этой причине могут быть выкинуты из рассмотрения.