Комплексный анализ - Выяснить характер особых точек

[petia.p]

Задача:

Данна $f$ аналитическая функция в области $\mathbb C\backslash\begin{Bmatrix}0 \end{Bmatrix}$, и данно, что точка $0$ является полюсом разряда $m$ функции $f$. К тому же данно, $-1 \notin f(\mathbb C\backslash\begin{Bmatrix}0 \end{Bmatrix})$. Требуется выяснить характер особых точек, функции $g(z)$.
$g(z)=\dfrac{f(z)-1}{f(z)+1}$

[paha]

напишите: $z_0$ есть полюс функции $g$, если...

$z_0$ есть ноль функции $g$, если...

[petia.p]

Я доказал что точка $0$, является устранимой особой точкой. Но я знаю что нужно как то отнестись к $\infty$, но я не знаю как.

[ИСН]

К какой $\infty$? К чьей $\infty$? К $\infty$, которая наступает, когда случается что?

[paha]

petia.p в сообщении #407564 писал(а):

Я доказал что точка $0$, является устранимой особой точкой.

что это значит?

[Gortaur]

Цитата:

К какой ? К чьей ? К , которая наступает, когда случается что?

(Оффтоп)

ближайшую бесконечность синоптики обещают где-то 21 дек. 2012

[petia.p]

Если $0$ полюс функции $f(z)$, to $\lim_{z\rightarrow 0} f(z)=\infty$. Из этого следует $\lim_{z\rightarrow 0} g(z)=1$.

Нужно проверить чему равняется $\lim_{z\rightarrow \infty} g(z)$

[ИСН]

А не хотите ли охарактеризовать возможность существования полюсов у самой $g(z)$?

[petia.p]

Если $f(z_0)=-1$, то $z_0$ является полюсом $g(z)$, но нам данно, что $-1 \notin f(\mathbb C\backslash\begin{Bmatrix}0 \end{Bmatrix})$.

[ИСН]

Ну вот, это надо было произнести.

[petia.p]

Нас обучали, что $z_0\rightarrow\infty$ всегда является особой точкой, но в данном случае я не знаю, что с этим делать, так как не известно конкретнное выражение функции $f(z)$.

[ИСН]

Раз всегда - значит, и сейчас является. А что тут ещё скажешь?

-- Вт, 2011-02-01, 14:17 --

Ах да, полюс или существенно особая. То есть - многочлен или нет.

[Gortaur]

Презумпция особенности по ИСН. Всякая точка особенна пока не доказано обратное.

[petia.p]

Извините за наглость, но задачу составлял не я, она такая как есть. Если Вы считаете что она не корректно составлена, то напишите это. Но я сомневаюсь в этом, так как она из домашней работы, которую нам дали 2 недели назад, а завтра ее нужно сдать, и если нас до сих пор не известили об изменениях, скорее всего она написана корректно.

Я определил, что точка $z_0\rightarrow 0$, являтся устраняемой точкой, $z_0\rightarrow\infty$ мне кажется что это тоже устраняемая точка, так как если $\lim_{z\rightarrow\infty} f(z)=f(z_0)$, то $\lim_{z\rightarrow\infty} g(z)=g(z_0)$, если $\lim_{z\rightarrow\infty} f(z)=\infty$, то $\lim_{z\rightarrow\infty} g(z)=1$.

Я не уверен, если это правильный и полный ответ.

[paha]

Проанализируйте простой пример:

$$f(z)=\frac{e^z}{z^m}-1$$