Основы комплексного анализа - Гармонические функции

[petia.p]

Вопрос из курса "Основы комплексного анализа":

Гармоническая функция $U : \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R$. Нужно доказать или опровергнуть: Нули $U$ (все точки $(x,y)$ которые приводят $U(x,y)=0$) обязательно изолированны.

Мне кажется, что это не так, но я не могу привести пример который это опровергает.

[paha]

а Вы знаете хоть одну гармоническую функцию на плоскости (кроме постоянной)?

[gris]

Гармоническая функция является аналитической, а там есть теорема о предельной точке нулей в односвязной области. Типа, если она есть, то функция тождественный ноль. Так что придётся доказывать.

[paha]

gris в сообщении #407535 писал(а):

Гармоническая функция является аналитической

не совсем так: гармоническая функция является вещественной/мнимой частью аналитической функции... поэтому...

[Padawan]

gris в сообщении #407535 писал(а):

Гармоническая функция является аналитической

Как функция двух переменных, а не одной.

-- Вт фев 01, 2011 12:32:23 --

пусть меня забанят, но $u(x,y)=x$ ?

[paha]

Padawan в сообщении #407537 писал(а):

пусть меня забанят, но $u(x,y)=x$ ?

я бы забанил:(((

[gris]

А разве может гармоническая функция на плоскости, принимающая значения разных знаков, не иметь не изолированные нули?

[ewert]

gris в сообщении #407542 писал(а):

А разве может гармоническая функция на плоскости, принимающая значения разных знаков, иметь изолированные нули?

Я бы сказал то же самое иначе: гармоническая функция не может иметь локальных экстремумов -- и, следовательно, ...

[petia.p]

Вопрос вот в чем: Так ли это, что все гармонические функции у которых есть нули, то эти нули изолированны?
Мне достаточно взять в пример любую гармоническую функцию, которая является исклучением, что бы это опровергнуть. Если взять постоянную функцию, которая является тождественно нулем, то нули етой функции не являются изолированными?

[paha]

gris в сообщении #407542 писал(а):

А разве может гармоническая функция на плоскости, принимающая значения разных знаков

а они все такие... кроме констант:)

-- Вт фев 01, 2011 10:51:42 --

petia.p в сообщении #407544 писал(а):

Мне достаточно взять в пример любую гармоническую функцию, которая является исклучением, что бы это опровергнуть.

Но ведь лучше доказать больше, если это бесплатно:) Прислушайтесь к ewert'у

-- Вт фев 01, 2011 10:52:33 --

petia.p в сообщении #407544 писал(а):

все гармонические функции у которых есть нули

нули есть у всех гармонических функций, кроме ненулевых постоянных

[Gortaur]

Padawan
А почему Ваша функция не подходит?

[petia.p]

Функция которая является тождественно нулем, то характер нулей этой функции считается изолированным или нет?

[paha]

petia.p в сообщении #407558 писал(а):

Функция которая является тождественно нулем, то характер нулей этой функции считается изолированным или нет?

в каких точках она принимает нулевые значения?

[petia.p]

Извините меня, если вопрос кажется слишком простым, а я слишком слабым в математике. Я прохожу этот курс на относительно низком уровне, время которое было уделенно на лекции для темы гармонические функции было не более 2-ух часов. Соотвественно, вопрос и ответ не должны быть трудными.
Все что тут спрашивается: Все гармонические функции у которых есть нули, являются ли эти нули изолированными?
Все что мне надо, это из всей бесконечности "гармонических функций у которых есть нули", показать одну, у которой нули не являются изолированными.

[paha]

petia.p в сообщении #407572 писал(а):

Все что мне надо, это из всей бесконечности "гармонических функций у которых есть нули", показать одну, у которой нули не являются изолированными.

Какие свойства гармонических функций, т.е. тех, которые $\Delta f=0$, Вы знаете?