Как связать две обратимые операции на множестве?

[Dialectic]

Дадим такие определения:
Опр1. Бинарная операция "*" называется обратимой на множестве M, если для любых элементов a,b из M уравнения:
1. a*x=b
2. y*a=b
всегда имеют и притом единственное решение.
2. Две операции "*" и "+" называются разными операциями если существует такая пара элементов (a,b), что $a+b\ne a*b$.

Задачи:
1. Требуется найти тождество связывающее две разные бинарные, обратимые операции (скажем как по типу дистрибутивности $a*(b+c)=a*c+b*c$), так, чтобы сохранялось единственность выполнения каждой операции и однозначность решений уранений 1-2, для каждой операции.
Если последнее невозможно - доказать.
2. Можно ли связать две разные обратимые операции на множестве таким тождеством, чтобы выполнялась ассоциативность или коммутативность хотя бы одной из них?Спасибо.

[svv]

До слова "Задачи" всё понятно.
"Требуется найти тождество, связывающее две разные бинарные, обратимые операции" -- тоже понятно.
А вот слова "так, чтобы сохранялась единственность выполнения каждой операции и однозначность решений уранений 1-2, для каждой операции" -- не очень. Если я уже использую в тождестве только обратимые бинарные операции, какие могут быть ещё требования?

Всё же, не до конца поняв задачу, приведу пример. А Вы, если надо, уточните.

В качестве множества M возьмём множество действительных чисел $\mathbb R$. На нём определяем две операции -- "$+$" и "$*$".
Операция "$+$" совпадает с обычным сложением.
Операция "$*$" не совпадает с умножением и определяется так: $a*b=a+a+b$.
Эти операции бинарные и обратимые, как Вы и хотели. Очевидно, они различны. А что "$*$" несимметрична, так Вы того и не требовали.

Тогда справедливо тождество: $a*c+b*c=(a+b)*(c+c)$. Оно означает просто $(a+a+c)+(b+b+c)=(a+b)+(a+b)+(c+c)$.
Все требования задачи 1 соблюдены?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Dialectic в сообщении #407352 писал(а):

2. Две операции "*" и "+" называются разными операциями если существует такая пара элементов (a,b), что $a+b\ne a*b$.

Это в музей надо. Давайте создадим музей!

svv в сообщении #407451 писал(а):

несимметрична

Некоммутативна, точнее.

Dialectic в сообщении #407352 писал(а):

1. Требуется найти тождество связывающее две разные бинарные, обратимые операции (скажем как по типу дистрибутивности $a*(b+c)=a*c+b*c$), так, чтобы сохранялось единственность выполнения каждой операции и однозначность решений уранений 1-2, для каждой операции.
Если последнее невозможно - доказать.

Неразрешима в общем случае, потому что размыт выделенный кусок, а так же замечания svv.

Ответ на второй вопрос, мне кажется, нет, если он не не разрешим.

[svv]

(Оффтоп)

arseniiv, рад Вас видеть

[arseniiv]

(Оффтоп)

:-) а я вроде и так по пятам ходил в недавних темах. А, нет, просто смотрел их.

[Dialectic]

svv в сообщении #407451 писал(а):

Все требования задачи 1 соблюдены?

Да, соблюденены. Спасибо.
Объясню что собственно я изначально хотел ( и до сих пор хочу): мне хочется делить на ноль как в R, иметь связь операций, и по возможноссти максимальное количество свойств, таких как коммутативность и ассоциативность для каждой операции сохранить. Вот нужно подобрать такое тождество, (если возможно) ,чтобы максимум свойств какие только существует в абелевой группе - сохранить. Желательно все. Конечно: можно тупо определить две обратимые операции на R, но тогда они не будут связанны дистрибутивностью. Так шут с ней с той дистрибутивностью - как бы найти хоть какую-то связь, но чтобы обязательно была обратимость каждой операции и операции были бы разными в указанном мною смысле? Не разных операций - я могу много придумать, а мне нужно чтобы разные они были.

-- Вт фев 01, 2011 01:13:00 --

arseniiv в сообщении #407454 писал(а):

[off]
Ответ на второй вопрос, мне кажется, нет, если он не не разрешим.

В данном случае имелось следующее: нужно связать операции - в читабельном и максимально простом виде. Вот скромно, простенько, для души...
ну как транзитивность шоб выглядела...

[Joker_vD]

Dialectic в сообщении #407461 писал(а):

мне хочется делить на ноль как в R

Поподробнее?

Dialectic в сообщении #407461 писал(а):

Потому что энтузиасты -математики могут придумать операции, скажем там через какие-нибудь "трансцендентные функции"

Раз мы алгебраическую задачу обсуждаем, то через "теорию категорий" Когомологии пучков и прочие красоты...

[Dialectic]

Joker_vD в сообщении #407467 писал(а):

Dialectic в сообщении #407461 писал(а):

мне хочется делить на ноль как в R

Поподробнее?

Да вот я хочу найти свойства, чтобы у меня каждый элемент в структуре... хм... не знаю как её назвать - был обратим.
Сами операции свзянны, и для каждой сохранялось бы максимальное количество свойств, какие выполняются в абелевой группе. Быть может удастся относительно одной сохранить коммутативность, а относительно другой - ассоциативность. А может, относителььно одной можно разу два свойства сохранить, а относительно другой - не одного.
Вообщем посмотреть бы варианты...

Joker_vD в сообщении #407467 писал(а):

Dialectic в сообщении #407461 писал(а):

Потому что энтузиасты -математики могут придумать операции, скажем там через какие-нибудь "трансцендентные функции"

Раз мы алгебраическую задачу обсуждаем, то через "теорию категорий" Когомологии пучков и прочие красоты...

Ну вот - я ж говорыл

[svv]

Вы хотите, чтобы операции имели как можно больше свойств обычного сложения и обычного умножения, но чтобы при этом умножение было обратимо. Правильно?

[Dialectic]

svv в сообщении #407472 писал(а):

Вы хотите, чтобы операции имели как можно больше свойств обычного сложения и обычного умножения, но чтобы при этом умножение было обратимо. Правильно?

да. Можно так сказать.

[paha]

svv в сообщении #407451 писал(а):

Операция "$*$" не совпадает с умножением и определяется так: $a*b=a+a+b$.

это и есть искомое тождество... то, что привели Вы

svv в сообщении #407451 писал(а):

$a*c+b*c=(a+b)*(c+c)$

его следствие

Вообще, вопрос странный... Возьмем множество $X$ мощности континуум, биекцию $f:X\to\mathbb{R}$ и биекцию $g:X\to{\mathbb C}\setminus{0}$.
Определим теперь операции на $X$: $x\ast y=f^{-1}(f(x)+f(y))$ и $x\cdot y=g^{-1}(g(x)g(y))$

И поди, поищи тождества...

[Portnov]

Есть такая скромная лемма: если в кольце все элементы обратимы, то это кольцо тривиально, т.е. состоит из одного элемента.

[Dialectic]

Portnov в сообщении #407526 писал(а):

Есть такая скромная лемма: если в кольце все элементы обратимы, то это кольцо тривиально, т.е. состоит из одного элемента.

Вот поэтому я ввел понятие "разной операции"...
Но нас интересует не кольцо, а нас интересует хоть что-нибудь в указанном смысле...
Вот как бы доказать, что два положения:
1. Множество М - является абелевой группой относительно каждой из операций
2. Операции связаны тождеством:a*b=a+a+b
- не ведут ни к каким противоречиям?
Я пробывал так сказать " в ручную" поискать портиворечие - не выходит... Но мало ли... нужно же доказать, что противоречий и быть не может. А вот как?

[Joker_vD]

Dialectic в сообщении #407792 писал(а):

Вот как бы доказать, что два положения:1. Множество М - является абелевой группой относительно каждой из операций2. Операции связаны тождеством:a*b=a+a+b - не ведут ни к каким противоречиям

Смоделировать.

[Dialectic]

Joker_vD в сообщении #407797 писал(а):

Dialectic в сообщении #407792 писал(а):

Вот как бы доказать, что два положения:1. Множество М - является абелевой группой относительно каждой из операций2. Операции связаны тождеством:a*b=a+a+b - не ведут ни к каким противоречиям

Смоделировать.

Предложите идею.