Как вам такое неравенство!

[Побережный Александр]

Прошу оценить неравенство. Вроде такого не встречал.
$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}*\sqrt{a+b}$

[r-aax]

Ну вроде бы левая часть следует из монотонного возрастания функции $x^2$ (при $x \ge 0$), а правая - из нее же и неравенства $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.

P. S. если $a > 0, \ b > 0$.

[AD]

r-aax в сообщении #407429 писал(а):

Ну вроде бы левая часть следует из монотонного возрастания функции $x^2$ (при $x \ge 0$),

Выпуклость это всё.

[ewert]

Если $\|\vec x\|_1\equiv\sum\limits_{k=1}^n}|x_k|$ и $\|\vec x\|_2\equiv\sqrt{\sum\limits_{k=1}^n|x_k|^2}$, то, как известно, существуют такие константы $C_1,\,C_2$, что

$C_1\|\vec x\|_2\leqslant\|\vec x\|_1\leqslant C_2 \|\vec x\|_2\quad (\forall\vec x).$

Это -- абстрактный факт, а потом можно пытаться уже найти и конкретные константы. Очевидно, что $C_1=1$ подходит, и очевидно, что эта константа точна (равенство достигается на векторе, одна компонента которого равна единичке, а все остальные -- нули). С оценкой сверху чуть сложнее, но только чуть. Неравенство Коши-Буняковского сразу же даёт, что $C_2=\sqrt{n}$ годится; и это тоже оказывается точным, поскольку на векторе, составленном только из единичек, достигается равенство.

[Побережный Александр]

Уважаемый ewert! Спасибо за исчерпывающую информацию. Я для себя открыл то, что было известно сто лет назад.
Как я понял, указанное мной неравенство является просто следствием неравенства Коши-Буняковского. В принятой математической форме это неравенство не восприимчиво для неподготовленного человека. Поэтому хочу привести некоторые неравенства в простой форме.

1. $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}\sqrt{a+b}$
Пример: $\sqrt3+\sqrt5\le\sqrt2\sqrt{3+5}$ или что тоже самое $\sqrt3+\sqrt5\le4$

2. $\sqrt{a+b+c}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3}\sqrt{a+b+c}$
Пример: $\sqrt2+\sqrt7+\sqrt11\le\sqrt3\sqrt{2+7+11}=\sqrt60<8$

3. $\sqrt{a+b+c+d}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\le\sqrt{4}\sqrt{a+b+c+d}$ или так $\sqrt{a+b+c+d}<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\le2\sqrt{a+b+c+d}$ и так далее

В общем виде неравенство выглядит так

$\sqrt{\sum{x_i}}<\sum\sqrt{x_i}\le\sqrt{n}\sqrt{\sum{x_i}}$

Извините, не знаю как поставить пределы суммирования... В данном случае i=1...n