Много вырожденных матриц

[Bulinator]

После долгих расчетов получил следующую систему уравнений относительно величин $g$:
$2g_{\mu 8}B^8_{\mu\rho}=0$
$g_{\mu 8}B^\nu_{\mu\rho}+g_{\mu \nu}B^8_{\mu\rho}=0$
$g_{\mu \nu}B^\lambda_{\mu\rho}+g_{\mu \lambda}B^\nu_{\mu\rho}=0$
$\mu,\nu\lambda$ пробегают значения от 1...7
Матрицы $B$ заданы. Ее элементы- какие-то огромные гробы от некоторых переменных. Ранг любой матрицы $B^a$ равен 4 и они антисимметричны.
Решить эти уравнения с помощью команды Solve математики не получается- комп виснет.
Думаю, решение должно зависеть от 3-4-х произвольных функций. Скажите, пожалуйста, как эти уравнения можно решить/ упростить для Математики.

[svv]

1) Подразумевается ли суммирование по индексу $\mu$ от $1$ до $7$?
2) Первое и второе уравнения выводятся из третьего
$g_{\mu \nu}B^\lambda_{\mu\rho}+g_{\mu \lambda}B^\nu_{\mu\rho}=0$,
если считать, что индексы $\nu$ и/или $\lambda$ могут принимать также значение $8$.

[Bulinator]

svv в сообщении #406911 писал(а):

1) Подразумевается ли суммирование по индексу от до ?

По повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.

svv в сообщении #406911 писал(а):

2) Первое и второе уравнения выводятся из третьего

А я его так и получил. Просто $B^\nu_{\mu 8}=0$ потому и переписал уравнения в этом виде.

[svv]

Bulinator писал(а):

Просто $B^\nu_{\mu 8}=0$ потому и переписал уравнения в этом виде.

А из-за антисимметричности $B^a$ также равны нулю компоненты $B^\nu_{8 \rho}$, поэтому индекс $\mu$ тоже пробегает значения только от $1$ до $7$. Понятно.

[svv]

Сугубое имхо: ни из практических, ни из эстетических соображений не следует, что все индексы должны пробегать одно множество значений -- ведь их "роли" могут сильно отличаться. Я буду пользоваться только третьим уравнением $g_{\mu \nu}B^\lambda_{\mu\rho}+g_{\mu \lambda}B^\nu_{\mu\rho}=0$, и пусть $\mu, \rho = 1..7$, $\lambda, \nu=1..8$.

Положим $\lambda=\nu=1$ и рассмотрим уравнения $2 g_{\mu 1}B^1_{\mu\rho}=0$. Это семь уравнений ($\rho = 1..7$) для семи неизвестных $g_{\mu 1}$. Так как уравнения однородные, их вроде бы даже больше, чем нужно (6) для однозначного определения, скажем, $g_{\mu 1}/g_{1 1}$. (Я предполагаю, что уравнения совместны.) Если бы не одна возможная проблема: уравнения могут быть зависимы, и их всё-таки не хватит.

Но попробовать нужно. Далее берем $\lambda=\nu=2$ и так же находим $g_{\mu 2}$ (вернее, $g_{\mu 2}/g_{2 2}$) и т.д.

Допустим, при таком подходе независимых уравнений не хватает (т.е. их меньше шести). Тогда рассматриваем такую урезанную систему уравнений:
$g_{\mu 1}B^1_{\mu\rho}+g_{\mu 1}B^1_{\mu\rho}=0$
$g_{\mu 2}B^2_{\mu\rho}+g_{\mu 2}B^2_{\mu\rho}=0$
$g_{\mu 1}B^2_{\mu\rho}+g_{\mu 2}B^1_{\mu\rho}=0$
Это $21$ уравнение для $14$ неизвестных $g_{\mu 1} $ и $g_{\mu 2}$. Здесь больше уравнений, зато еще больше шансы, что хватит независимых.

P.S. Только сейчас заметил, что ранг $B^a$ равен $4$. Тогда первый, самый "лихой" вариант точно не пройдет. А второй?