Аналитическое решение трансцендентного уравнения

[andreso]

Имеется трансцендентное уравнение вида:
(c^x)-x=0, где с - некоторая константа больше 0.

Заранее неизвестно чему равняется "c". Диапазон изменения "с" достаточно большой (допустим 0..1000). Требуется найти приближенное, но аналитическое решение этого уравнения в общем виде. Пока рассматриваю возможность использования аппроксимации Паде. Может есть более приемлемые с точки зрения точности решения этой задачи?

[ИСН]

Зачем вообще аппроксимации? У Вас какие-то фундаментальные ограничения среды не позволяют возводить в степень?

[andreso]

Я хочу заменить степенную функцию отношением полиномов, а потом выразить в явном виде корень этого уравнения. Другого способа я не вижу. Что касается "среды", то она может все, но тогда нужно использовать один их численных методов.

[gris]

А чего такой диапазон? При $c>1,45$ всё равно решений нет.
Я правильно понял запись уравнения $c^x-x=0$?

[ИСН]

Численные методы использовать придётся в любом случае. Также разделяю недоумение gris'а.

[andreso]

Недоумение верное. Если быть точнее, то уравнение выглядит следующим образом:
$ a^x-bx=0 $

Здесь больше вопрос о том, какой метод аппроксимации даст наилучший результат при сохранении возможности аналитического поиска корня этого уравнения (например, что-бы получился полином 3-й степени и т.п.).

[Aleksandrito]

Можете поставить вопрос о области значений параметра с, для которых существует решение.

[ИСН]

andreso, у Вас порочный подход. Аналитический корень (когда он есть; здесь-то нету) хорош тем, что это точный корень. А аналитический корень аппроксимации - это не пойми что. Это всё равно как одноногий приходит к врачу, а тот перебрал картотеку и говорит: вот, смотрите, немного похожий мужик, у которого две ноги. Спасибо, но от этого не легче. Нужны костыли.

[mserg]

Перевожу на русский язык.
Задана функция $x$ с переменной $c$ в неявном виде. Нужно получить в явном виде аппроксимацию функции $x$ от переменной $c$.

[paha]

andreso в сообщении #406428 писал(а):

(c^x)-x=0, где с - некоторая константа больше 0.

решение $x(c)=-\frac{W(-\ln c)}{\ln c}$, где $W$ -- функция Ламберта (по ссылке приедены и различные представления этой функции в виде рядов, пригодные для аппроксимации)