Замкнутая бесконечность

[Андрей АK]

Итак , еще одна тема для размышления.

Топологи и прочие геометры носятся со своими открытыми и замкнутыми множествами как с писанной торбой.
Может в этом есть какой-то смысл?

А что если попробовать применить операцию замыкания к неограниченному бесконечному множеству?
Заодно можно будет проверить некоторые свойства бесконечных множеств.
(вдруг они поменяются?)

Например, что произойдет с доказательством несчетности множества действительных чисел (диагональю Кантора)?

Итак, попытаюсь ка я пересчитать все действительные числа, на отрезке от нуля до единицы.
Считать числа я буду в порядке зеркальном порядке возрастания, а именно:

$\left( \begin{array}{ccсссс} {0} & {0} & {0}& {0} & {0} & {...} \\ {1} & {0}& {0}& {0}& {0}& {...}\\ {0} & {1}& {0}& {0}& {0}& {...}\\ {1} & {1}& {0}& {0}& {0}& {...}\\ {0} & {0}& {1}& {0}& {0}& {...}\\ {1} & {0}& {1}& {0}& {0}& {...} \\ {...} \end{array} \right)$

Диагональ Кантора (строка, отличающаяся от каждого из чисел в списке, в диагональном бите) это ,очевидно, строка состоящая из одних единиц:

$\left( \begin{array}{ccсссс} {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {...} \end{array} \right)$

Странно получается - вроде бы строки из единиц наш пересчет никогда не достигнет ... но ведь где-то на бесконечности такая строка обязательно должна быть и она должна быть самым последним числом в нашем списке - т.е. замыкающим!

Значит понятно, как применять операцию замыкания:

$\left( \begin{array}{ccсссс} {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {...}& {0} & {0} \\ {1} & {0}& {0}& {0}& {0}& {...}& {0}& {0}\\ {0} & {1}& {0}& {0}& {0}& {...}& {0}& {0}\\ {1} & {1}& {0}& {0}& {0}& {...}& {0}& {0}\\ {0} & {0}& {1}& {0}& {0}& {...}& {0}& {0}\\ {1} & {0}& {1}& {0}& {0}& {...}& {0}& {0} \\ {...}\\ {1} & {1}& {1}& {1}& {1}& {...}& {0}& {1}\\ {1} & {1}& {1}& {1}& {1}& {...}& {1}& {0} \\ {1} & {1}& {1}& {1}& {1}& {...}& {1}& {1} \end{array} \right)$

Чисел из множества натуральных чисел ,конечно, не хватает для подсчета всех действительных, но не потому что там отсутствует антидиагональный элемент - он как раз есть, а потому, что список всех действительных чисел вовсе не квадрат - а прямоугольник с шириной $N$ и высотой $2^N$

Какие еще есть интересные особенности у замкнутой бесконечности?
Ну ,например, бесконечные числовые ряды обладают свойством: "От перестановки слагаемых сумма не меняется" даже для знакопеременных рядов.
Пропадают также некоторые парадоксы ,например, обсуждавшийся некоторое время назад "парадокс Литлвуда".

[migmit]

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Значит понятно, как применять операцию замыкания:

Нет, не понятно.

[Андрей АK]

Теперь можно заметить некоторые закономерности и общие черты у следующих "парадоксов":
"Парадокс Зенона" - Ахил никогда не догонит черепаху, поскольку, каждый раз как он её догоняет, та успевает отползти.
"Парадокс Литлвуда" - Если в мешок класть шары со скоростью в 10 раз большей, чем вынимать, то сколько шаров в нем останется за бесконечное время?
И ...
"Диагональ Кантора"!
Да последнее я также отношу к софистским парадоксам.
Действительно, давайте модифицируем это рассуждение следующим образом:

"Предположим некто, начинает подсчитыват множество действительных чисел, помещая те в список.
Тогда, каждый раз при помещении следующего числа в список, я выбираю такое , которое еще туда не помещено и таким образом заключаю что ,раз я всегда смогу выбрать число не из списка, то и пересчитать действительные числа невозможно."

Не правда ли , последняя модификация очень напоминает парадоксы Зенона и Литвуда?
И в то же время остается все тем же самым доказательством Кантора!
Однако, если Зенон (вместе с Кантором) утверждают, что Ахил не догонит черепаху, то Литлвуд - утверждает прямо противоположное.

Так кому верить?

[BapuK]

(Оффтоп)

лучше бы сидели и занимались чем-то одним, закапываясь глубоко в теорию, чем хватать по куску из каждого раздела и обвинять всех в их некомпетентности

[migmit]

Андрей АK в сообщении #406569 писал(а):

Не правда ли , последняя модификация очень напоминает парадоксы Зенона и Литвуда?

Нет, не правда.

Андрей АK в сообщении #406569 писал(а):

И в то же время остается все тем же самым доказательством Кантора!

Нет, не остаётся.

[hurtsy]

Андрей АK
Мне очень понравилось Ваше изложение. Особенно прямоугольная матрица. По моим подсчетам для $N$ столбцов имеется всего $2^N-1$ строк . Кантор рассматривает множество всех подмножеств, а его мощность $N^N$. С уважением,

[Виктор Викторов]

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Топологи и прочие геометры носятся со своими открытыми и замкнутыми множествами как с писанной торбой. Может в этом есть какой-то смысл?

Смысл есть. Посмотрите учебники и темы на этом сайте.

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

А что если попробовать применить операцию замыкания к неограниченному бесконечному множеству?

Это уже сделано. Причём многократно. Например, замыканием множества рациональных чисел является множество вещественных чисел.

[Jnrty]

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Топологи и прочие геометры носятся со своими открытыми и замкнутыми множествами как с писанной торбой.
Может в этом есть какой-то смысл?

Смысл есть: простейшее применение состоит в том, что эти множества используются для определения предела и непрерывных функций.

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

А что если попробовать применить операцию замыкания к неограниченному бесконечному множеству?

1) Какую именно операцию замыкания Вы собираетесь применить?
Точно определите её.

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Странно получается - вроде бы строки из единиц наш пересчет никогда не достигнет ... но ведь где-то на бесконечности такая строка обязательно должна быть и она должна быть самым последним числом в нашем списке - т.е. замыкающим!

2) Какой номер имеет строка $111111111111\ldots$ в Вашем списке?
3) Какое самое последнее натуральное число?

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Чисел из множества натуральных чисел ,конечно, не хватает для подсчета всех действительных, но не потому что там отсутствует антидиагональный элемент - он как раз есть

4) Где - "там"?

В определении счётного множества требуется "подсчёт" (на самом деле - взаимно однозначное соответствие) элементов множества натуральными числами. Поскольку Вы согласились, что "натуральных чисел ,конечно, не хватает для подсчета всех действительных", то тем самым Вы согласились, что множество действительных чисел несчётно. Все прочие выдумки к делу отношения не имеют.

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

список всех действительных чисел вовсе не квадрат - а прямоугольник с шириной $N$ и высотой $2^N$

5) Что такое $N$ и $2^N$?
Вообще, я всегда думал, что список, о котором идёт речь - это последовательность, а не "квадрат" и не "прямоугольник".

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Ну ,например, бесконечные числовые ряды обладают свойством: "От перестановки слагаемых сумма не меняется" даже для знакопеременных рядов.

6) Чему равны суммы рядов $1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\frac 15-\frac 16+\ldots$ и $1-\frac 12\frac 14+\frac 13-\frac 16-\frac 18+\ldots$?
Второй ряд получается из первого перестановкой слагаемых.

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Пропадают также некоторые парадоксы ,например, обсуждавшийся некоторое время назад "парадокс Литлвуда".

7) Докажите.

Вообще, "парадокс" Литлвуда парадоксом в математическом смысле не является. Просто результат кое-кому, плохо разбирающемуся в теории множеств, кажется "неправильным".

Jnrty:

Ответы на перечисленные вопросы обязательны. Если будете увиливать, заблокирую за троллинг. Если будете писать глупости - за невежество. Если Вы не в состоянии ответить на какой-либо из вопросов - так и напишите, что не можете. Тогда ограничусь переносом темы в Пургаторий.

Андрей АK в сообщении #406569 писал(а):

"Диагональ Кантора"!
Да последнее я также отношу к софистским парадоксам.
Действительно, давайте модифицируем это рассуждение следующим образом:

"Предположим некто, начинает подсчитыват множество действительных чисел, помещая те в список.
Тогда, каждый раз при помещении следующего числа в список, я выбираю такое , которое еще туда не помещено и таким образом заключаю что ,раз я всегда смогу выбрать число не из списка, то и пересчитать действительные числа невозможно."

Не правда ли , последняя модификация очень напоминает парадоксы Зенона и Литвуда?
И в то же время остается все тем же самым доказательством Кантора!

Ещё раз такой идиотизм напишете - заблокирую за злокачественное невежество.

В действительности число, не входящее в список, выбирается после предъявления готового списка, претендующего на полноту, а не "каждый раз при помещении следующего числа в список".

hurtsy в сообщении #406588 писал(а):

Андрей АK
Мне очень понравилось Ваше изложение. Особенно прямоугольная матрица. По моим подсчетам для $N$ столбцов имеется всего $2^N-1$ строк . Кантор рассматривает множество всех подмножеств, а его мощность $N^N$.

Если $N$ - натуральное число, то число двоичных строк длины $N$ равно $2^N$. Ровно этому же числу равно и количество подмножеств множества, состоящего из $N$ элементов. Откуда Вы взяли $N^N$?

[hurtsy]

Jnrty
Вы правы в сомнениях относительно моего поста.
Во первых я написал, что мне понравилось изложение. Мне понравились элементы престидижитации, которые применил топик стартер. Это зеркальное представление чисел. Эти представлением бесконечное превратилось в конечное. По топик-стартеру получается, множество положительных рациональных открытое и снизу и сверху, определяемое обычно как соотношение двух натуральных, имеет наименьший элемент. Да и наибольший виднеется, как-бы. Вот и пришлось применять фокус. А доказательства несчетности множества действительных на интервале $(0,1)$ у меня всегда под руками, и действительно мощность множества подмножеств множества из N элементов $2^N$. Прошу прощения. С уважением,

[Андрей АK]

Jnrty в сообщении #406727 писал(а):

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Топологи и прочие геометры носятся со своими открытыми и замкнутыми множествами как с писанной торбой.
Может в этом есть какой-то смысл?

Смысл есть: простейшее применение состоит в том, что эти множества используются для определения предела и непрерывных функций.

Я имел ввиду несколько другой смысл.

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

А что если попробовать применить операцию замыкания к неограниченному бесконечному множеству?

1) Какую именно операцию замыкания Вы собираетесь применить?
Точно определите её.

В применении к целым числам - это добавление к множеству элементов, после которых оно перестанет быть открытым.
Открытое, опять же для целых чисел, можно определить, как не имеющее верхней или нижней грани.
Поскольку меня не устраивает добавление одного, самого большого числа под названием "бесконечность" то надо добавить еще какие то условия, которые я сейчас не в состоянии сформулировать (а иначе зачем бы я выставлял тему на форум? Или здесь можно дискутировать только цитатами из учебников?)

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Странно получается - вроде бы строки из единиц наш пересчет никогда не достигнет ... но ведь где-то на бесконечности такая строка обязательно должна быть и она должна быть самым последним числом в нашем списке - т.е. замыкающим!

2) Какой номер имеет строка $111111111111\ldots$ в Вашем списке?

Естествено, это номер $111111111111\ldots$
В замкнутом множестве, номер строки $111111111111...111$
это $111111111111...111$

Цитата:

3) Какое самое последнее натуральное число?

А кто говорил о натуральных числах?
У натуральных чисел нет последнего числа, поскольку это открытое множество.
После выполнения операции замыкания, самое последнее число будет называться ... "замыкающее список натуральных чисел число".

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Чисел из множества натуральных чисел ,конечно, не хватает для подсчета всех действительных, но не потому что там отсутствует антидиагональный элемент - он как раз есть

4) Где - "там"?

В определении счётного множества требуется "подсчёт" (на самом деле - взаимно однозначное соответствие) элементов множества натуральными числами. Поскольку Вы согласились, что "натуральных чисел ,конечно, не хватает для подсчета всех действительных", то тем самым Вы согласились, что множество действительных чисел несчётно. Все прочие выдумки к делу отношения не имеют.

А где я заявлял (в этой теме) что множество действительных чисел счетно?
это вы уже себе напридумывали.
Да, я их пересчитал, но не при помощи множества натуральных чисел, для пересчета я использовал $2^N$ чисел из замкнутого бесконечного множества "псевдонатуральных чисел" (другого названия у меня нет - может кто получше предложит?).

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

список всех действительных чисел вовсе не квадрат - а прямоугольник с шириной $N$ и высотой $2^N$

5) Что такое $N$ и $2^N$?
Вообще, я всегда думал, что список, о котором идёт речь - это последовательность, а не "квадрат" и не "прямоугольник".

Ага, а откуда там тогда взялась диагональ?
Или вы хотите сказать, что диагональ бывает не только у квадратов и прямоугольников?
$N$ - это количество знаков в используемом представлении - оно равно количеству натуральных чисел (хотя может и больше - все зависит от интерпретации).
$2^N$ - это два в степени $N$

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Ну ,например, бесконечные числовые ряды обладают свойством: "От перестановки слагаемых сумма не меняется" даже для знакопеременных рядов.

6) Чему равны суммы рядов $1-\frac 12+\frac 13-\frac 14+\frac 15-\frac 16+\ldots$ и $1-\frac 12\frac 14+\frac 13-\frac 16-\frac 18+\ldots$?
Второй ряд получается из первого перестановкой слагаемых.

Вы не сможете точно так же переставить числа в замкнутом бесконечном ряде (а я о них говорил, а не о стандартных незамкнутых бесконечных рядах) поскольку вы должны также указать и окончание ряда (его замыкание).
В конце ряда вам неоткуда будет взять лишние элементы, которые вы переставляли в начале.
В примере вы этого не сделали и следовательно ваш пример не имеет отношения к тому о чем я говорил.
Замкнутые ряды будут обладать всеми свойствами конечных рядов.

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406552 писал(а):

Пропадают также некоторые парадоксы ,например, обсуждавшийся некоторое время назад "парадокс Литлвуда".

7) Докажите.

Вообще, "парадокс" Литлвуда парадоксом в математическом смысле не является. Просто результат кое-кому, плохо разбирающемуся в теории множеств, кажется "неправильным".

Вы сами сказали, что это не парадокс.
После применения операции замыкания всем становится очевидно, что в конце концов в ящике не остается никаких шаров (как и утверждает теория множеств).
А раз всем очевидно, то значит и "парадокс" пропадает - это я и имел ввиду.

Цитата:

Ответы на перечисленные вопросы обязательны. Если будете увиливать, заблокирую за троллинг. Если будете писать глупости - за невежество. Если Вы не в состоянии ответить на какой-либо из вопросов - так и напишите, что не можете. Тогда ограничусь переносом темы в Пургаторий.

Лучше сразу в пургаторий.
На некоторые вопросы я считаю отвечать не имеет смысла, поскольку ответ на него должен быть интуитивно ясен любому, а вот "точные определения" могут потребовать не одной страницы текста и еще больше времени.
Какой смысл запрещать дискутировать о ,например, действительных числах, если для того чтоб дать их точное определение надо переписать половину учебника.
А если я не отвечу на любой подобный вопрос меня сразу забанят?
Отличный способ ,я вам скажу, избавляться от неудобных оппонентов.

Цитата:

Андрей АK в сообщении #406569 писал(а):

"Диагональ Кантора"!
Да последнее я также отношу к софистским парадоксам.
Действительно, давайте модифицируем это рассуждение следующим образом:

"Предположим некто, начинает подсчитывать множество действительных чисел, помещая те в список.
Тогда, каждый раз при помещении следующего числа в список, я выбираю такое , которое еще туда не помещено и таким образом заключаю что ,раз я всегда смогу выбрать число не из списка, то и пересчитать действительные числа невозможно."

Не правда ли , последняя модификация очень напоминает парадоксы Зенона и Литвуда?
И в то же время остается все тем же самым доказательством Кантора!

Ещё раз такой идиотизм напишете - заблокирую за злокачественное невежество.

В действительности число, не входящее в список, выбирается после предъявления готового списка, претендующего на полноту, а не "каждый раз при помещении следующего числа в список".

Способность замечать общие черты у ,казалось, непохожих предметов - называется "абстрактным мышлением".
Если вы не увидели здесь ничего общего, это еще не значит что этого там не сможет заметить кто-то другой.
Я ,лично, хотел бы узнать - заметил ли кто-то еще общие черты у этих трех вещей и сравнить впечатления.
Для этого ,кажется, и существуют математические форумы?

[Xaositect]

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Какой смысл запрещать дискутировать о ,например, действительных числах, если для того чтоб дать их точное определение надо переписать половину учебника.

Достаточно дать ссылку.

[paha]

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

У натуральных чисел нет последнего числа, поскольку это открытое множество.

в какой топологии оно открыто? Или Вы под "открытым" понимаете нечто собственного изобретения?

-- Пн янв 31, 2011 00:59:23 --

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

После выполнения операции замыкания

опять: для операции замыкания нужна топология (хоть какая-то)... Если же Вы под "замыканием" понимаете нечто нестандартное -- дайте определение

-- Пн янв 31, 2011 01:00:27 --

Виктор Викторов в сообщении #406675 писал(а):

Например, замыканием множества рациональных чисел является множество вещественных чисел.

или $p$-адических, если имеется ввиду пополнение:)

[Jnrty]

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

В применении к целым числам - это добавление к множеству элементов, после которых оно перестанет быть открытым.

Множество не бывает открытым или замкнутым само по себе. Оно может быть таковым только как подмножество топологического пространства. Кроме того, множество может быть одновременно открытым и замкнутым.

(Термин "замкнутый" употребляется также во многих других смыслах, часто не имеющих отношения к топологии.)

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Поскольку меня не устраивает добавление одного, самого большого числа под названием "бесконечность"

"Бесконечность" - не число.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Естествено, это номер $111111111111\ldots$

Потрясающе содержательно. "Номер" каждого элемента равен ему же самому. От того, что Вы переписали цифры в обратном порядке (сделав это, кстати, непонятно как), суть дела не меняется.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

У натуральных чисел нет последнего числа, поскольку это открытое множество.

С чего Вы взяли? Множество натуральных чисел является замкнутым подмножеством множества действительных чисел. И не является открытым.
Вы просто не знаете смысла терминов и заменяете его своими фантазиями.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Ага, а откуда там тогда взялась диагональ?

"Диагональ" - это условное название, апеллирующее к наглядному представлению списка действительных чисел в виде бесконечной двумерной таблицы, элементы которой - цифры, а строки и столбцы занумерованы натуральными числами. Однако метод работает для множеств произвольной мощности, когда о "таблице" и "диагонали" в ней можно говорить только в весьма условном смысле.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Да, я их пересчитал, но не при помощи множества натуральных чисел, для пересчета я использовал $2^N$ чисел из замкнутого бесконечного множества "псевдонатуральных чисел" (другого названия у меня нет - может кто получше предложит?).

Да ерунда. Вы "пересчитали" действительные числа с помощью самих же действительных чисел. Кого Вы хотите этим удивить?

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

$N$ - это количество знаков в используемом представлении - оно равно количеству натуральных чисел (хотя может и больше - все зависит от интерпретации).

Если Вы думаете, что что-нибудь объяснили, то сильно заблуждаетесь. По-прежнему непонятно, что такое $N$.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

$2^N$ - это два в степени $N$

Если Вы думаете, что, "озвучив" формулу, Вы объяснили её смысл, то очень ошибаетесь. Запись $2^N$ может иметь совершенно разный смысл в разных ситуациях. $N$ может быть натуральным числом, целым числом, рациональным числом, действительным числом, комплексным числом, ординалом, кардиналом, множеством, топологическим пространством... Во всех этих случаях смысл выражения $2^N$ различен. Вы же даже не можете внятно сказать, что такое $N$.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Вы не сможете точно так же переставить числа в замкнутом бесконечном ряде (а я о них говорил, а не о стандартных незамкнутых бесконечных рядах) поскольку вы должны также указать и окончание ряда (его замыкание).

Извините, но Вы говорите неизвестно о чём, поскольку определения не сформулировали. Поэтому Ваши слова в данном случае просто бессмысленны.
Если хотите, я добавлю к каждому из написанных мной рядов ещё одно слагаемое с номером $\infty$, положив его равным $0$. Ряды будут "замкнутыми", поскольку "окончание" у них есть (а Вы ничего другого и не говорили), а суммы у них будут разные.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

После применения операции замыкания всем становится очевидно, что в конце концов в ящике не остается никаких шаров (как и утверждает теория множеств).

Извините, но операцию замыкания Вы не определили и сами же пишете, что не в состоянии это сделать. Поэтому Ваши заявления ни на чём не основаны и являются не более чем благими пожеланиями.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

На некоторые вопросы я считаю отвечать не имеет смысла, поскольку ответ на него должен быть интуитивно ясен любому, а вот "точные определения" могут потребовать не одной страницы текста и еще больше времени.

При таком подходе Ваши темы на нашем форуме будут быстро попадать в Пургаторий, пока это не надоест модераторам. А потом Вас заблокируют. Без точных определений математики нет.

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

Если вы не увидели здесь ничего общего, это еще не значит что этого там не сможет заметить кто-то другой.

Я вижу рассуждение, которое содержит логическую ошибку, поэтому не может использоваться для доказательства чего-либо. При этом это ошибочное рассуждение выдаётся за рассуждение Кантора, хотя не имеет к нему отношения.

Андрей АK в сообщении #406569 писал(а):

"Диагональ Кантора"!
Да последнее я также отношу к софистским парадоксам.
Действительно, давайте модифицируем это рассуждение следующим образом:

"Предположим некто, начинает подсчитыват множество действительных чисел, помещая те в список.
Тогда, каждый раз при помещении следующего числа в список, я выбираю такое , которое еще туда не помещено и таким образом заключаю что ,раз я всегда смогу выбрать число не из списка, то и пересчитать действительные числа невозможно."

Рассуждая так, как Вы написали, легко "доказать", что множество натуральных чисел несчётно.
Будем "подсчитывать" натуральные числа, помещая их все в список в любом порядке. Каждый раз после помещения в список очередного числа легко указать натуральное число, отсутствующее в списке (например, можно взять наибольшее число, уже попавшее в список, и прибавить к нему единицу).
"Раз я всегда смогу выбрать число не из списка, то и пересчитать натуральные числа невозможно."

Андрей АK в сообщении #406859 писал(а):

надо добавить еще какие то условия, которые я сейчас не в состоянии сформулировать (а иначе зачем бы я выставлял тему на форум? Или здесь можно дискутировать только цитатами из учебников?)

Я не знаю, зачем Вы выставляете на математический форум, на суд профессионалов, собственную некомпетентность. Не нужно дискутировать цитатами из учебников, но учебники нужно хорошо знать и понимать.

Jnrty:

Пургаторий.