Сумма и произведение элементов пустого множества

[Xenia1996]

Наткнулась на олимпиадную задачу:

Верно ли, что для каждого целого неотрицательного n найдутся n попарно различных натуральных чисел, сумма которых - точный квадрат, а произведение - точный куб?

В самой задаче ничего сложного нет, если бы не один момент.
Для натуральных чисел утверждение доказывается с помощью всего лишь одной простой школьной идеи: сумма первых n кубов всегда является квадратом (например, 1+8+27+64+125=225). Сие, в свою очередь, влёгкую доказывается по индукции, выкладывать здесть не буду, ибо ничего олимпиадного тут нет, рутинное упражнение на индукцию (достаточно лишь заметить, что получаются квадраты треугольных чисел, и вспомнить нужные формулы).

Но как поступить с нулём?
Если предположить, что сумма элементов пустого множества равна элементу, нейтральному относительно сложения (то бишь, нулю), а произведение элементов пустого множества равно элементу, нейтральному относительно умножения (то бишь, единичке), то всё сходится: 0 - точный квадрат, 1 - точный куб.
Только вот легитимно ли делать подобные предположения (и засчитали бы такое на олимпиаде)?

[Хорхе]

Я засчитал бы любое решение, которое проходит при $n\ge 1$: понятно, что задача не о том, как следует определять произведение/сумму нуля слагаемых/сомножителей.

[migmit]

Вообще, как правило, так и определяют: результат применения некоторой ассоциативной операции к пустому набору элементов - элемент, нейтральный относительно этой операции (если он существует).

В языках программирования, имеющих подобную конструкцию в стандартной библиотеке, как правило определяют так же:

MigMit:~ MigMit$ ghci
GHCi, version 6.12.3: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
Prelude> sum []
0
Prelude> product []
1

[Xenia1996]

migmit в сообщении #406392 писал(а):

Вообще, как правило, так и определяют: результат применения некоторой ассоциативной операции к пустому набору элементов - элемент, нейтральный относительно этой операции (если он существует).

В языках программирования, имеющих подобную конструкцию в стандартной библиотеке, как правило определяют так же:

MigMit:~ MigMit$ ghci
GHCi, version 6.12.3: http://www.haskell.org/ghc/  <!-- s:? --><img src=\\"{SMILIES_PATH}/icon_confused.gif\\" alt=\\":?\\" title=\\"Confused\\" /><!-- s:? --> for help
Prelude> sum []
0
Prelude> product []
1

Тогда такой вопрос (не мой):

\sup_{x\in[0;1)}x^2=1\\\sup_{x\in\emptyset}x^2}=?

[Хорхе]

$\sup\varnothing=-\infty$, $\inf\varnothing = +\infty$.

Это легко понять, если использовать такое определение: супремум ограниченного множества является наименьшей верхней гранью. Так как у нас любое число является верхней гранью пустого множества, то...