(ТФКП) Помогите вычислить несколько интегралов

[Shamanishche]

Вычислить интеграл по замкнутому контуру:

1) $\int\limits_{D} \frac{1}{z^3(z^{10} - 2)} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<2$)

2) $\int\limits_{D} \frac{z^2sin^2{\frac{1}{z}} }{(z-1)(z-2)} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<3$)

3) $\int\limits_{D} zcos{\frac{z}{z+1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|>2$)

4) $\int\limits_{D} \frac{e^{\pi z}}{2z^2-i} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<1$, ReZ>0, ImZ>0)

5) $\int\limits_{D} \frac{z^2}{e^{2 \pi i z^3}-1} dz$ по замкнутому контуру (D:$|z|<\sqrt[3] {n+ {\frac{1}{2}}} $, n=0,1,2,...)

P.S: Важен ход решения

[Troll1984]

Выкладывайте свои соображения.

[Shamanishche]

Да я без понятия.. Что было попроще - решил, а эти не знаю как.
Решал с помощью формулы $$\int\limits_{D} f(z) dz$ $ = $ 2 \pi i \sum \limits_{k=1}^n Res f(z), z=a_k $

[Troll1984]

Если без понятия, то тему могут закрыть.
Находите особые точки, смотрите, какие из них попадают в искомую область, определяйте их тип, ищите вычеты.

[Shamanishche]

Только вычеты искать не приходилось. Как известно сумма вычетов равна нулю, значит минус вычет в бесконечности равен сумме остальных вычетов. Вычет в бесконечности равен коэффициенту при минус первой степени, т.е. при $ \frac{1}{z} $. Вообщем раскладывал подынтегральное выражение в ряд Тейлора, находил этот коэффициент, подставлял в формулу и получал ответ.

[Troll1984]

Видимо придется.

[Shamanishche]

Придётся закрыть тему? Ну спасибо! Я к вам за помощью пришёл Просто разобраться хочу, чтоб знать потом

[Troll1984]

Нет, видимо придется теперь вычеты искать.
Хотя тут по-моему всё можно попробовать к бесконечности свести.

[Shamanishche]

Тогда извиняюсь!
Вот например если взять первый интеграл. Там особая точка ноль. Если искать вычет в нуле то там получается $ \lim \frac{1}{0}$

[Troll1984]

Формулы для вычисления вычетов посмотрите.

[Shamanishche]

Пользуюсь этой формулой: $ Res f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} ((z-a)^n f(z)) $

[Troll1984]

0 - полюс какого порядка?

[Shamanishche]

Вот я сомневаюсь - первого или третьего. Но если пользоваться моей формулой, в данном примере это не важно, всё равно получается

$$ \lim \frac{1}{0} $$

[ewert]

Shamanishche в сообщении #406317 писал(а):

Но если пользоваться моей формулой, в данном примере это не важно, всё равно получается

Важно, не всё равно.

[Shamanishche]

Мне тут один мой знакомый сказал что в 1 и 2 ответ ноль, потому что сумма вычетов равна нулю, а все особые точки входят в область. Что Вы об этом думаете?