Уравнения

[myra_panama]

Решите уравнения:
1) $x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} = 2\sqrt{x^2 +1}$
2)$$$ \left\{ \begin{array}{cc} x^4+y^4+z^4=1 \\ x^2+y^2+2z^2=\sqrt7 \end{array} $$ $
1) я нашел только один корень... x=1
Второе по моему не имеет вещественных решении но не знаю...

[gris]

1. очень красивый пример. Попробовал бы кто графически решить
2. Нечто внутри эллипсоида. может быть оценить на осях и при $x=y=z$?

[ewert]

Числа во второй задаче придуманы странные. При каждом фиксированном (из числа допустимых) $z$ нижнее уравнение задаёт окружность радиуса $\sqrt{\sqrt7-2z^2}$. А верхнее -- такую подушечку с полудиагональю $x^2+y^2=2\sqrt{1-z^4\over2}$. Ну так второе всегда меньше первого:

$\sqrt7-2z^2>2(1-z^4)\quad\Leftrightarrow\quad2z^4-2z^2+\sqrt7-2>0$

(дискриминант отрицателен). Т.е. подушка всегда лежит внутри окружности (если обе они существуют) и, соответственно, решений нет. Вот если бы заменить корень из семи на два с половиной -- вышло бы содержательно.

[myra_panama]

1 -ое уравнение может быть решить методом векторов :
Рассмотрим векторы $a(\sqrt{1+x},\sqrt{3-x}) , b(x,1)$
Очевидно ,что уравнение имеет вид $a*b=|a|*|b|$
Используя условия пропорциональности удобно записать уравнение в виде :
$\frac{\sqrt{1+x}}{x}=\sqrt{3-x}$
ну а дальше все понятно..... если я не ошибся

[paha]

Cистема уравнений

myra_panama в сообщении #406162 писал(а):

2)

$$$ \left\{ \begin{array}{cc} x^4+y^4+z^4=1 \\ x^2+y^2+2z^2=\sqrt{a} \end{array} $$

$

не имеет вещественных решений при $a> 6$. При $a=6$ имеется ровно 8 решений (по одному в каждом октанте).

[vvvv]

myra_panama в сообщении #406162 писал(а):

Решите уравнения:
1) $x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} = 2\sqrt{x^2 +1}$
2)$$$ \left\{ \begin{array}{cc} x^4+y^4+z^4=1 \\ x^2+y^2+2z^2=\sqrt7 \end{array} $$ $
1) я нашел только один корень... x=1
Второе по моему не имеет вещественных решении но не знаю...

1.В первом уравнении кроме единицы - еще корень -единица плюс корень квадратный из двух.
2.Во второй системе уравнений корней, действительно, нет т.к. эллипсоид и "игральная кость" не пересекаются.
3.Во второй системе , в терминологии paha`а решения "интересные" имеются также при а=1
4.Если корень из семи заменить на 2.5 (как предложил ewert), то решений не будет т.к. корень из шести меньше 2.5. и поверхности
не пересекаются и не касаются.
см. картинки

[ewert]

vvvv в сообщении #406241 писал(а):

Если корень из семи заменить на 2.5 (как предложил ewert), то решений не будет

Я просто забыл возвести в квадрат радиус. Действительно, корень из шести.