условные вероятности

[Gortaur]

Есть множество $E$ и Марковский однородный процесс $X_n$ со значениями в этом множестве. Пусть $B\subset A\subset E$. Я рассматриваю такие два события

$$ S_1 = \{X_n\in A\quad\forall n\geq 0\} $$

и

$$ S_2 = \{\exists N<\infty: X_n\in A\quad \forall n<N, X_N\in B\}. $$

А потом мне нужно проверить, что

$$ \mathrm{P}_x(S_1|S_2) \geq \inf\limits_{x\in B}\mathrm{P}_x(S_1). $$

По логике так и должно быть - у нас дано условие, что мы все время в $A$ пока не достигнем $B$ (при чем достигнем обязательно) - тогда вероятность того, что при этом условии мы навсегда останемся в $A$ это вероятность того, что начав из $B$ мы не уйдем из $A$. Так как я не знаю, куда в $B$ я попаду после блужданий по $A$ - то я просто оценил вероятность через минимальную среди начальных точек в $B$.

Ошибка есть или нет, а то у меня строго доказать не получается.