2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 02:01 


14/10/10
16
Санкт-Петербург
На матанализе был такой факт - что экспонента(а точнее, функция видa С*exp(x)) - единственная функция, производная которой равна самой себе. А это как-нибудь доказано(просто интересно)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
karlicos в сообщении #405659 писал(а):
А это как-нибудь доказано(просто интересно)?

Единственность доказывается так: пусть $f$ -- такая функция, что $f'(x)=f(x)$

$(e^{-x}f(x))'=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 09:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32061
Это правда, но если мы хотим осознанного доказательства, то лучше его отложить всё-таки до курса дифференциальных уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 11:07 
Аватара пользователя


23/05/10
41
Киев
karlicos в сообщении #405659 писал(а):
На матанализе был такой факт - что экспонента(а точнее, функция видa С*exp(x)) - единственная функция, производная которой равна самой себе. А это как-нибудь доказано(просто интересно)?

Все очень элегантно доказ.
$f^{'}(x)=\lim\limits_{x\to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)} { \Delta x}$
$f(x)=C e^{x}$
$f^{'}(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{C e^{x+\Delta x}-C e^{x}} {\Delta x}= \lim\limits_{x\to 0}\frac{C e^{x} e^{\Delta x}-C e^{x}} {\Delta x}=C e^{x}\lim\limits_{x\to 0}\frac{ e^{\Delta x}-1} {\Delta x}$
Теперь надо доказать, что лимит $\to $1.
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{ e^{\Delta x}-1} {\Delta x}\to1$
Делаем замену:
$ e^{\Delta x}-1 = \frac{1}t $
$\Delta x=\ln{\left(1+\frac{1}t\rigth)}$
Тогда лимит будет выглядеть следующим образом:
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}t} {\ln{\left(1+\frac{1}t \rigth)}}$
или
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1} {t\ln{\left(1+\frac{1}t\rigth)}}$
или
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1} {{\ln{\left(1+\frac{1}t\rigth)}}^t}$
а
$\lim\limits_{x\to 0}{\ln{\left(1+\frac{1}t\rigth)}}^t}\to\ln{e^{1}}=1$
И того получаем истинный результат:
$f^{'}(x)=C e^{x}=f(x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 11:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ubuntu_linux в сообщении #405735 писал(а):
И того получаем истинный результат:
$f'(x) = Ce^x = f(x)$
Вы не доказали единственности:
karlicos в сообщении #405659 писал(а):
единственная функция, производная которой равна самой себе

Так-то конечно очень просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Ubuntu_linux в сообщении #405735 писал(а):
Все очень элегантно доказ.

Основываясь на
Ubuntu_linux в сообщении #405735 писал(а):
$f(x)=C e^{x}$


Вы получили

Ubuntu_linux в сообщении #405735 писал(а):
$f^{'}(x)=C e^{x}=f(x)$


Т.е. доказали лишь, что $(e^x)'=e^x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:12 
Аватара пользователя


23/05/10
41
Киев
Если взять любое число a>0 в степени х ( $a^x$ ), то лимит (см. више) будет приблежатся к $\ln{a}$
http://www.youtube.com/watch?v=dpb4rRgl23E
То есть производная не буде равная функции !
$(a^x)^{'}=a^x\ln{a}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Ubuntu_linux в сообщении #405756 писал(а):
То есть производная не буде равная функции !

и что?
Кто сказал, что искомая функция, равная своей производной имеет вид $a^x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:22 
Аватара пользователя


23/05/10
41
Киев
paha в сообщении #405758 писал(а):
Ubuntu_linux в сообщении #405756 писал(а):
То есть производная не буде равная функции !

и что?
Кто сказал, что искомая функция, равная своей производной имеет вид $a^x$?

А какие типы производных вы знаете?
Ну $a^x$ то самое* что $e^x$, и для такого типа, производная равна функции в случае $a=exp=2.7....$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
760
Единственность легко доказывается дифференцированием для функций, выраженных в виде ряда
$f(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {a_k \frac{{x^k }}{{k!}}} $
Для условия $f(x)=f'(x) $ все $a_k$ должны быть равны. Тогда
$f(x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {a_k \frac{{x^k }}{{k!}}}=ce^x $

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13907
А нельзя так показать?
Допустим, функция аналитическая в окрестности некоторой точки.
Тогда $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$
$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...$
Получим, что $a_1=a_0;\,a_2=a_1/2=a_0/2;\, a_3=a_2/3=a_0/6;...$

Итак, $f(x)=a_0+a_0x+\dfrac{a_0}{2}x^2+...=a_0\cdot(1+x+\dfrac {x^2}2+\dfrac {x^3}6+...)=a_0e^x$

Я не нарочно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 14:53 


26/12/08
1813
Лейден
gris
То есть всякое аналитичное решение ДУ будет экспонентой. И среди просто гладких Вы другие варианты не отмели...

-- Пт янв 28, 2011 15:59:41 --

Во-первых, ноль очевидно решает задачу. Во-вторых, пусть в какой-то точке $x$ имеем $f(x) > 0$, тогда и в окрестности точки $x$ это выполнено.

Вспомним, что
$$
(\log{f(x)})' = \frac{f'(x)}{f(x)} = 1,
$$
где последнее равенство выполняется в нашем случае. То есть $g(x) = \log{f(x)}$ - функция с постоянной производной по крайней мере в окрестности точки $x$ (думаю, здесь единственность решения доказывать не надо?)

Для отрицательных функций делается точно так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная экспоненты
Сообщение28.01.2011, 19:51 


20/12/09
1527
paha в сообщении #405662 писал(а):
karlicos в сообщении #405659 писал(а):
А это как-нибудь доказано(просто интересно)?

Единственность доказывается так: пусть $f$ -- такая функция, что $f'(x)=f(x)$

$(e^{-x}f(x))'=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=0$


Добавлю, что замечательный и красивый метод paha применим в общем случае.

В курсе ОДУ В.И. Арнольда это прием называется: Теорема о выпрямлении векторного поля.
Если есть аналитическое решение ОДУ, то оно единственно.
Аналитическое решение позволяет сделать аналитическую замену переменных, после которой уравнение приобретает тривиальный вид $\dot y=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group