Аксиомы в неевклидовой геометрии

[arseniiv]

Обозначим «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести максимально $n$ параллельных ей» как $A(n)$ и «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести $n$ параллельных ей» как $B(n)$.

1. Правильно ли я понимаю, что сферическая геометрия отличается от евклидовой заменой аксиомы $A(1)$ на $A(0)$?
2. (Касается гиперболической геометрии) $A(\infty) \sim B(2)$?

[Gortaur]

В евклидовой - в точности одну.

[arseniiv]

(Т. е. $A(n) = \bigwedge\limits_{i = 0}^{n}{B(i)}$.)

Gortaur в сообщении #405361 писал(а):

В евклидовой - в точности одну.

Лучше-ка я тогда перепишу вопросы по-другому:

Обозначим за $E(n)$ «Существует $n$ различных прямых, параллельных данной и проходящих через данную точку не на этой прямой» и за $E'(n)$ «Существует ровно $n$ различных прямых…» и

1. Правильно ли я понимаю, что сферическая геометрия отличается от евклидовой заменой аксиомы $E'(1)$ на $E'(0)$?
2. (Касается гиперболической геометрии) $E'(\infty) \sim E(2)$?

[Padawan]

Так, если две можно, то и бесконечно можно - любая между этими двумя подойдет. Так что, всего три варианта - ни одной, одна, бесконечно.

[BVR]

1. Если говорить только про аксиому параллельных - то да. Но!!! В сферической нарушаются аксиомы порядка...
2. Е(2) - это через точку.... можно провести не менее двух прямых - я правильно понял обозначение? Если 2 - то бесконечно много, поскольку в гиперболической геометрии выполняются все аксиомы абсолютной геометрии, то определено понятие лежать между и можно провести прямую "между" двумя другими прямыми.

[arseniiv]

BVR в сообщении #405476 писал(а):

Но!!! В сферической нарушаются аксиомы порядка...

Вот мне как раз было интересно, только ли в той отличия, или не только. Точно, аксиома порядка нарушается. А есть ещё какие-то аксиомы порядка, кроме «Для лежащих на одной прямой трёх точек одна из них лежит между двумя другими»?

Padawan в сообщении #405470 писал(а):

Так, если две можно, то и бесконечно можно - любая между этими двумя подойдет. Так что, всего три варианта - ни одной, одна, бесконечно.

О, спасибо! Как раз думал, ведь вроде верно, а доказательство найти не выходило. Как всё просто!

[BVR]

Цитата:

А есть ещё какие-то аксиомы порядка

Нет. аксиомы порядка - это аксиомы "лежания между". Они для того и служат, чтобы договориться сколько точек (из трёх) может лежать между двумя другими. Если одна, то прямая "не замкнута". А если отказаться от единственности, то под прямой можно подразумевать (представлять, трактовать, интерпретировать...) и замкнутую линию. Однако аксиомы конгруэнтности выполняются и, видимо, непрерывности тоже...

[Munin]

В гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского) на плоскости существует $\mathbb{R}$ различных прямых, проходящих через данную точку не на данной прямой, и не пересекающихся с этой прямой. Эти прямые не называются параллельными - они называются расходящимися. Весь пучок расходящихся прямых ограничен с двух сторон двумя прямыми, которые не пересекаются с данной прямой, но неограниченно приближаются к ней. Они и называются параллельными.

Поэтому в неевклидовых геометриях спектр ситуаций богаче, чем в евклидовой, и приходится расширять и уточнять терминологию. А конечного числа $n$ "параллельных" или расходящихся прямых достичь невозможно (если только не переходить к рассмотрению дискретных геометрий, что намного дальше от евклидовой, чем эллиптическая и гиперболическая). Поэтому предлагаемые вами аксиомы непригодны для однообразного описания эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии - для этого они должны формулироваться в более продвинутых понятиях. И целочисленный параметр $n$ там практически бесполезен: какой смысл делать его целочисленным, если он может принимать только значения 0, 1 и $\infty$? Гораздо полезнее параметр $k$ - кривизны пространства, который принимает значения $<0,$ $0$ и $>0.$

И вообще, чем дальше в лес, тем меньше смысла в аксиоматическом подходе к геометрии. Те аксиомы, которые удаётся выдумать, чтобы удачно описать геометрию номер N, оказываются неудачными для перехода к более сложной и интересной геометрии номер N+1 (в обратную сторону иначе, аксиомы для N+1 удачно описывают N, но догадаться до них заранее было нельзя).

[arseniiv]

Munin в сообщении #405506 писал(а):

Гораздо полезнее параметр $k$ - кривизны пространства, который принимает значения $<0,$ $0$ и $>0.$

И вообще, чем дальше в лес, тем меньше смысла в аксиоматическом подходе к геометрии. Те аксиомы, которые удаётся выдумать, чтобы удачно описать геометрию номер N, оказываются неудачными для перехода к более сложной и интересной геометрии номер N+1 (в обратную сторону иначе, аксиомы для N+1 удачно описывают N, но догадаться до них заранее было нельзя).

Ну это я так, для интереса.

[Munin]

Стоит вам почитать риманову геометрию - и ваш интерес сильно преобразится.

[arseniiv]

Пока не хочу заблудиться в метрических тензорах (ничего не перепутал?). Но потом как-нибудь, наверно, дозрею.