Сушествование fn(x)

[myra_panama]

Последовательность {$f_n (x)}$} задана следующим образом :
$f_0 (x)=c_0 >0$ , $f_{n+1}(x)=c_0 + (\int\limits_0^{x} {\sqrt{f_n (t)} dt)^2$ , $0\le{x} \le1$ . Доказать , что $\lim\limits{_{ n\rightarrow \infty}} f_n (x) $ сушествует и найти его.

[Руст]

Приравнивая $f_{n+1}(x)=f_n(x)=f(x)$ получаем дифференциальное уравнение для предельной функции. Решая это получаем $f(x)=c_0\ch^2x$.
Далее показываем, что $f_n(x)\le c_0\ch^2x$ и в пределе действительно сходится к нему монотонно.

[myra_panama]

Руст в сообщении #404927 писал(а):

Приравнивая $f_{n+1}(x)=f_n(x)=f(x)$ получаем дифференциальное уравнение для предельной функции. Решая это получаем $f(x)=c_0\ch^2x$.
Далее показываем, что $f_n(x)\le c_0\ch^2x$ и в пределе действительно сходится к нему монотонно.

если дифференцируем интегрального уравнение $f(x)=c_0+(\int\limits_0^{x} \sqrt{f(t)}dt)^2$ то получаем: $f'(x)=2\sqrt{f^2 (x) - c_0f(x)}$
Обший интеграл будет: $f(x)-\frac{c_0}2 +\sqrt{f^2 (x) - c_0f(x)} = ce^{2x}$ ,
Используя $f(0)=c_0$ получаем: $f(x)=c_0 \frac{(e^{2x} + 1 )^2}{4e^{2x}}= c_0\ch^2 {x}$ вы правильно нашли
но для доказательства $f_n (x)\le c_0\ch^2{x}$ я