замыкание выпуклого множества

[MaximVD]

ewert в сообщении #404389 писал(а):

MaximVD в сообщении #404388 писал(а):

Т.е. любую точку из выпуклой оболочки можно представить в виде

Как?... это уже совершенно неочевидно (хотя в конце концов и верно).

Как не очевидно? Любое выпуклое множество содержащее $A$ будет содержать все выпуклые комбинации точек из $A$, поскольку любое выпуклое множество содержит любую выпуклую комбинацию своих точек (это доказывается в 2 строчки). Множество состоящее из всех выпуклых комбинаций точек из $A$ - выпукло (это уж совсем очевидно) и содержит $A$. Дальше ясно.

[ewert]

MaximVD в сообщении #404445 писал(а):

ewert в сообщении #404389 писал(а):

MaximVD в сообщении #404388 писал(а):

Любое выпуклое множество содержащее $A$ будет содержать все выпуклые комбинации точек из $A$,

Это да. Но почему из этого следует наоборот -- что любой элемент линейной оболочки представляется именно конечной комбинацией?...

-- Вт янв 25, 2011 20:44:09 --

MaximVD в сообщении #404445 писал(а):

ewert в сообщении #404389 писал(а):

MaximVD в сообщении #404388 писал(а):

Любое выпуклое множество содержащее $A$ будет содержать все выпуклые комбинации точек из $A$,

Это да. Но почему из этого следует наоборот -- что любой элемент линейной оболочки представляется именно конечной комбинацией?...

[MaximVD]

Множество, состоящее из всех конечных выпуклых комбинаций (обозначим его $B$), выпукло и содержит исходное множество $A$. Далее, любое выпуклое множество, содержащее $A$, содержит все конечные выпуклые комбинации точек из $A$, т.е. содержит $B$.
Выпуклая оболочка, по определению, наименьшее (по включению) выпуклое множество, содержащее множество $A$. Раз $A \subset B$, $B$ - выпукло, и любое другое выпуклое множество $C$, содержащее $A$, содержит и $B$, то, просто по определению, $B$ и будет требуемым наименьшим множеством.

[ewert]

Да, это действительно очевидно, не вдумался (но я и не владею выпуклым анализом). А как насчёт Каратеодори -- можно ли его доказать действительно несложно, без геометрической аргументации (которая выглядит достаточно очевидной, но непонятно как формализуется без занудства) и без избыточной линейно-алгебраической возни?...

(я это к тому, что покуда речь о плоскости -- элементарно-треугольнические соображения выглядят явно проще)

[MaximVD]

Нет, теорему Каратеодори, к сожалению, без небольшой линейно-алгебраической возни не доказать.
Если совсем вкратце, то доказывается она так. Берём выпуклую комбинацию $r$ точек исходного множества $A$. Если $r > n + 1$, то, воспользовавшись линейной зависимостью, можно эту выпуклую комбинацию так подправить, что она станет выпуклой комбинацией $r - 1$ точки из $A$. Дальше ясно.
Вся сложность в доказательстве заключается в том, что если просто так воспользоваться линейной зависимостью, то ничего не получится. Поэтому приходится немного повозиться, чтобы выбрать "правильную" линейную комбинацию точек, равную нулю.