Кривая Персея

[mokriy]

Здравствуй такая проблема может кто знает как задать Кривую Персея в параметрическом виде или в поляной системе координат но тогда как взять производную или по чем надо брать. прошу ответить ну просто очень надо просто гугле не помог особо или если есть вероятность что в учебниках каких то встречается то скажите пожалуйста название скачаю буду искать.

[Алексей К.]

Подставьте $x=r(\xi)\cos\xi,\;y=r(\xi)\sin\xi$. Решите биквадратное уравнение, найдите $r(\xi)$. Для каких-то частных случаев (когда это простая замкнутая кривая без выпендрёжек) получите вполне приличную параметризацию $x(\xi),y(\xi)$, со спокойно возрастающим параметром $\xi$.
Можно и $y(x)$ явно выразить.
Почём сейчас берут производные --- я, к сожалению, не в курсе. Эти будут громоздкие; наверное, дорогие.

[mokriy]

я конечно извиняюсь но замены делать в декартовой системе координат?
(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

[ИСН]

А чо, дофига вариантов?

[mokriy]

Сделал замену свел и получил
$r^4(\xi)=ar^2(\xi)\cos^2\xi+br^2(\xi)\sin^2\xi+c$
на википедии в English по этой кривой нашел формулу $r^4=dr^2\cos^2\alpha+er^2\sin^2\alpha+f$(там записано немного по другому, углы не знал как прописать)
там написано что это полярный вид если это так то например если я захочу взять производную то нужно брать по r?
А если решать биквадратное уравнение то, если я правильно понял нужно сделать замену $r^2=t$ и потом я получу простое квадратное уравнение. Я все правильно понял?

[Алексей К.]

Про тот угол, что в Википедии, --- он называется \theta (тэта). Ваша \alpha сойдёт.

Про биквадратное уравнение Вы поняли правильно, и эту замену можно как бы устно делать. Напомню --- я уже писал, что полярное уравнение очевидно разумно для некоторых частных случаев. В других --- надо думать. Например, когда эта кривая состоит из двух отдельных овальчиков, параметризация по полярному углу плохая. А может, с каждым овальчиком можно справиться по отдельности (как в самом простом случае, когда это две чистые окружности). Полюс только в удобное место переместить.

Короче, там ожидается нудный анализ всяких случаев. Простой, но длинный и нудный, а Вы в этих делах явно не мастер.

Про производную --- всё зависит от того, для чего она Вам нужна. Просто так, от балды, производные берут только в контрольных по матану (да и то, не совсем от балды). По жизни же производные берут с какой-то конкретной целью. Она (эта цель) и определяет, что по чём дифференцировать (и надо ли это делать). А что Вы там хотите сделать с кривой Персея, известно только Вам.

[mokriy]

Да вы правы, я со всем этим в свое время ознакомился но никогда не углублялся, не было необходимости.

Цитата:

Про производную --- всё зависит от того, для чего она Вам нужна. Просто так, от балды, производные берут только в контрольных по матану (да и то, не совсем от балды). По жизни же производные берут с какой-то конкретной целью. Она (эта цель) и определяет, что по чём дифференцировать (и надо ли это делать). А что Вы там хотите сделать с кривой Персея, известно только Вам.

Я только что у парня, для которого нужна производная, узнал для чего, что бы вывести уравнение касательной и нормали. Если сможете сказать, по чем её следует брать (производную) или сами уравнения буду очень благодарен.

[Алексей К.]

Ну да, чтобы найти нормаль/касательную, надо брать производную по параметру. Но для неявно заданной кривой выкрутиться можно и без параметризации, о чём написано в любом справочнике, где есть глава "Дифференциальная геометрия". Искать и перепеписывать --- что для того ленивого парня, что для его самозабвенного помощника, естессно --- лень.

[e7e5]

Можно посмотреть А.А. Савелова по плоским кривым

[Алексей К.]

Ну да, там картинка, объяснялка, но никаких параметризаций нету.

[Yu_K]

Поиграть с кривой можно здесь - http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2B3y%5E2-1 или тоже в полярной http://www.wolframalpha.com/input/?i=po ... t%29%5E2-1
- а чем плоха производная неявной функции в декартовых координатах - если задача стоит просто построить касательную и нормаль - то вроде проще в декартовых все делать?