Перемешанные векторные и спинорные индексы

[Bulinator]

Берем матричное представление алгебры Клиффорда с 7-ю образующими $\lambda^\mu$ , $\mu=1,\ldots,7$:
$\left\{\lambda^\mu,\lambda^\nu\right\}=-2\delta^{\mu\nu}$.
Определим еще $\lambda^8={\bf 1}_{8\times 8}$

Размерность минимального представления есть $2^{\left[\frac{7}{2}\right]}=8$.

(SO(8))

С помощью этих матриц можно определить спинорное представление группы $SO(8)$ следующим образом:
определяем
$S^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\left[\lambda^\mu,\lambda^\nu\right]$
и тупым расчетом убеждаемся, что эти величины удовлетворяют коммутационным соотношениям $SO(8)$.

В этой размерности существуют майорановы спиноры. Следовательно, можем перейти к такому представлению, где спинор(и матрицы $\lambda$) чисто вещественный а матрица зарядового сопряжения- суть единичная матрица.

Далее рассматриваем два спинора $u$ и $v$.
Исходя из некоторых соображений, которые я приводить не буду(ибо бессмысленно) для спиноров $u$ и $v$ получаем закон преобразования
$\delta {u}^a=\frac{1}{(v)^2}(u\lambda^b v)\lambda^a_{bc}(\tau\lambda^c v)$
$\delta v^a= v\lambda^a\tau$

где $\tau$ тоже спинор, который рассматриваем как параметр инфинитизимального преобразования($\tau$ зависит только от 7-и параметров).
Собственно вопрос:
это как так получается, что векторные индексы (индексы номера матрицы) и спинорные индексы(матричные) перемешиваются? Заметьте, что такое возможно только в этой размерности ибо уравнение $2^{\left[\frac{n}{2}\right]}=n+1$ имеет решением только 7(В противном случае размерность матриц и их кол-во не совпадали бы).

Есть какие-нибудь ассоциации? Можете сказать умные слова?

Заранее спасибо.

[Munin]

Что такое матрица зарядового сопряжения?
Можете выписать закон преобразования со всеми индексами? А то у вас там спиноры без индексов.

[Bulinator]

Munin в сообщении #404257 писал(а):

Что такое матрица зарядового сопряжения?

Ну это такая матрица $C$, что
$(C^T)^{-1}\gamma^\mu C=\pm(\gamma^\mu)^T$
Майоранов спинор $\psi$ по определению удовлетворяет
$\psi^*=\pm C\psi,$
где $*$-комплексное сопряжение.

Munin в сообщении #404257 писал(а):

Можете выписать закон преобразования со всеми индексами? А то у вас там спиноры без индексов.

$\delta {u}^a=\frac{1}{v_f v_f}(u_d\lambda^b_{de} v_e)\lambda^a_{bc}(\tau_g\lambda^c_{gh} v_h)$
$\delta v^a= v_b\lambda^a_{bc}\tau_c$

$a,b,c,d,e,f,g,h=1,\ldots,8$

Для спиноров не ставим разницы между индексами с верху и снизу.

[type2b]

Вы спрашивали умные слова -- их есть у нас:
у алгебры so(8) есть внешний автоморфизм, т.н. "триальность". Если Вы посмотрите на соотв. диаграмму Дынкина, то поймете, как она действует. Так вот, эта симметрия переставляет 2 спинорных и векторное представления, которые посему действительно имеют одинаковую размерность. Дальше википедия Вам поможет.

И да: использовать 1_{8x8} в качестве гамма-матрицы -- это смело...

[Bulinator]

type2b в сообщении #409539 писал(а):

И да: использовать 1_{8x8} в качестве гамма-матрицы -- это смело...

Если немного поработать с октонионами(и вообще с любыми нормированными алгебрами с делением), то обозначение $\lambda_8={\bf 1}_{8\times 8}$ ($\lambda_{1,2,4}$) естесственно.
См. например Gunaydin, Ketov, Nucl.Phys. B467 (1996) 215-246

-- Вс фев 06, 2011 11:17:10 --

Bulinator в сообщении #409542 писал(а):

их есть у нас:

Кстати спасибо за них.
К сожалению я не совсем понимаю эти диаграммы Дынкина и не могу ими польозоваться(уже сколько лет хочу разобраться с ними и разложениями Картана, но никак руки не доходят).
А как эта триальность выражается простыми словами? Всмысле, посмотрите на формулу $\delta u$- это трилинейное отображение как в Вики. А что можно сказать по существу? Нужны формулы. В математических книгах статьях обычно идет махание руками :(

[Munin]

Присоединяюсь послушать про диаграммы Дынкина.

[type2b]

Чтобы ответить конкретно на Ваш вопрос, мне надо знать, откуда Ваши формулы преобразования взялись, и по каким представлениям объекты в формуле преобразуются. Например, может оказаться, что у какой-нибудь гамма-матрицы вместо спинорных индексов векторные, а вместо векторных -- спинорные, тогда все корректно (т.е. если можно определить как-то гамма-матрицы для векторного представления so(8)). Представления хоть триальностью и переставляются, но вроде не эквивалентны, поэтому индексы из разных представлений приравнивать нехорошо. Короче, мне надо посмотреть, откуда формула взялась.
Про диаграммы Дынкина можно почитать в какой-нибудь хорошей книжке. Например, мне нравится книжка Cahn, "Semi-Simple Lie Algebras and their Representations", она есть в сети. Или классическая книжка Georgi, "Lie algebras in particle physics".

[type2b]

По поводу $\lambda_8=1_{8\times 8}$ я протормозил, ведь это же не гамма-матрицы, а их киральные половинки.
Киньте все-таки плз ссылку, откуда Ваши формулы берутся.

[Bulinator]

type2b в сообщении #410390 писал(а):

Киньте все-таки плз ссылку, откуда Ваши формулы берутся.

Смотрите сюда. Эсли обозвать $u_1=u$, $u_2=v$ то это преобразования, не меняющие базу третьего расслоения Хопфа. (вторая формула снизу или формула (6), если бы она имела номер)

[type2b]

ааа, Вам нужна структурная группа расслоения Хопфа. Щас подумаем.

[Bulinator]

type2b в сообщении #410673 писал(а):

структурная группа расслоения Хопфа

таковой не существует, ибо слой расслоения- $S^7$- негрупповое многообразие.

[type2b]

1. Пусть группа G действует на многообразии F: $G\xrightarrow{\rho} Diff(F)$. Пусть функции переклейки расслоения принимают значения в группе G и действуют на слое F с помощью $\rho$. Тогда G называется структурной группой расслоения. Частные случаи:
* слой -- векторное пространство, $\rho$ -- векторное представление (-> векторное расслоение)
* слой -- сама группа, $\rho$ -- действие левыми сдвигами (главное расслоение).

2. В нашем случае расслоение такое. База $P\mathbb{O}^1$, слой $\mathbb{O}_0$, тотальное пространство $\mathbb{O}^2_0$, где нулик снизу означает подпространство с единичной длиной. Эту штуку, кстати, можно получить из тавтологического линейного расслоения $\mathbb{O}^2$ над $P\mathbb{O}^1$ со слоем $\mathbb{O}$, если ограничиться в слоях на единичные сферы.
Наше расслоение получается из $\mathbb{O}^2_0$ факторизацией по действию единичных октонионов умножением. Поскольку алгебра неассоциативна, то эта штука не есть какая-то группа. Это действие ортогонально, поэтому вкладывается в SO(8). Поскольку $\mathbb{O}_0\approx S^7\approx SO(8)/SO(7)$, можно догадаться, что изотропной подгруппой для действия SO(8) будет SO(7). Таким образом, можно структурную группу расслоения редуцировать во всяком случае к SO(8).
Чтобы было понятнее, аналоги этого утверждения: для $\mathbb{C}$ можно редуцировать к $SO(2)\approx U(1)$, и дальше уже некуда; для $\mathbb{H}$ можно редуцировать к $SO(4)$, но, как мы знаем, можно редуцировать дальше к $SU(2)\in SO(4)$. Для октонионов, подозреваю, тоже можно редуцировать дальше, к чему-нибудь типа $Spin(7)$, тем более что $S^7\approx Spin(7)/G_2$.

3. Еще пример. Если группа G действует на M с изотропной подгруппой H (которая постоянна), то вроде M есть расслоение над M/G со слоем G/H, если я не вру. Именно это в нашем примере происходит.

4. Вы все-таки неправы насчет гамма-матриц. Матрицы $\lambda^\mu_{\alpha\dot\alpha}$ -- это не гамма-матрицы в 8d. В частности, коммутатор, который вы написали под катом в качестве Вашего генератора so(8), равен нулю для \mu=8. На самом деле лямбды это киральные половинки гамма-матриц, и кроме лямбды еще есть лямбда с чертой $\bar\lambda^\mu_{\dot\alpha\alpha}$. Обратите внимание, как я расставил индексы. Эти (8x8) матрицы действуют из $S^{\pm}$ в $S^\mp$. Правильная формула для генератора в $S^+$ будет $\lambda^\mu\bar\lambda^\nu-\lambda^\nu\bar\lambda^\mu$, и похожим образом в $S^-$. Лямбда с чертой отличается от лямбды чем-нибудь типа замены знака 7-мерных гамма-матриц, или что-то в этом роде.

5. Почему в Ваших формулах смешиваются индексы разных представлений. Ответ: эти лямбды по совместительству являются структурными константами октонионов, как Вы знаете, наверное. Но при этом SO(8), действуя на октонионах, НЕ является автоморфизмом алгебры, т.е. НЕ сохраняет произведение. Поэтому благодаря триальности индексы у лямбды в формулах с октонионами можно обозначать одинаковыми буквами, но при этом понимать, что SO(8) не действует, т.е. не является инвариантностью формул, поэтому индексы смешиваются. Автоморфизмом октонионов на самом деле является $G_2\in SO(8)$, и относительно нее эти представления (V и $S^\pm$) должны быть эквивалентны, как я понимаю.

6. Кстати, я не понял, откуда берется первая формула для преобразования, которая длиннее -- это что ли равно $u\lambda^a\tau$?

[type2b]

пардон, всюду вместо $\in$ читать $\subset$

[Bulinator]

type2b
Спасибо за информацию...
Что-то примерно этого я уже знаю См. Hopf maps and Wigner's little groups.

type2b в сообщении #410823 писал(а):

В частности, коммутатор, который вы написали под катом в качестве Вашего генератора so(8), равен нулю для \mu=8.

Тем и отличаются греческие индексы от латинских, что первые пробегают значения от 1 до 7, тогда как вторые от 1 до 8.

type2b в сообщении #410823 писал(а):

Эти (8x8) матрицы действуют из $S^\pm$ в $S^{\mp}$

Вот вот. Мы приближаемся к самому интересному. Что есть $S^\pm$?

type2b в сообщении #410823 писал(а):

Лямбда с чертой отличается от лямбды чем-нибудь типа замены знака 7-мерных гамма-матриц, или что-то в этом роде.

Вы, видимо, говорите о дуальном базисе. Матрицы $\lambda$ с помощью октонионных структурных констант определяются следующим образом:
$(\lambda^\mu)_{ab}=-\delta_{an}\delta^\mu_b+\delta^\mu_a\delta_{bn}+C_{\mu ab}$
но, можно ввести еще и другие матрицы $\gamma^\mu$ просто заменой знака $C_{\mu a b}$ (или, что то же самое преобразованием матриц с помощью матрицы $diag(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1)$):
$(\gamma^\mu)_{ab}=-\delta_{an}\delta^\mu_b+\delta^\mu_a\delta_{bn}-C_{\mu ab}$
Эти матрицы так же удовлетворяют антикоммутационным соотношениям.
Вы о них??

type2b в сообщении #410823 писал(а):

Кстати, я не понял, откуда берется первая формула для преобразования, которая длиннее -- это что ли равно $u\lambda^a\tau$?

Не совсем. Если внимательно посмотрите в ссылку на соседнюю тему, там описана проблема с преобразованиями для октонионов. Собственно,из-за неассоциативности октонионов и получается эта дикая формула.

[type2b]

$S^+$ и $S^-$ это вейлевские представления с левой/правой киральностью, $V$ -- векторное представление. В моих формулах индекс $\alpha$ принадлежит $S^+$, $\dot\alpha$ для $S^-$ и $\mu$ для $V$, все они пробегают от 1 до 8.

Пусть число измерений равно $2k$. Гамма-матрицы (это не лямбды!) можно выбрать в виде

$$\Gamma^\mu=\left(\begin{array}{cc} 0& \lambda^\mu_{\alpha\dot\alpha}\\ \bar\lambda^\mu_{\dot\alpha\alpha}&0 \end{array}\right)$$

В таком базисе ("вейлевском") дираковские спиноры имеют вид $(\psi_+^\alpha\,\, \psi_-^{\dot\alpha})^T$. Гамма-матрицы действуют из $S^\pm$ в $S^\mp$, лямба действует из $S^-$ в $S^+$, лямбда-бар -- наоборот.

Чтобы гамма-матрицы имели правильные антикоммутационные соотношения, лямбды должны удовлетворять соотношениям типа

$$\lambda^\mu\bar\lambda^\nu+\lambda^\nu\bar\lambda^\mu={\bf 1}\,\eta^{\mu\nu}$$

Генераторами в дираковском представлении являются, как обычно, антикоммутаторы гамма-матриц. Генераторами, скажем, в $S^+$ являются матрицы

$$\lambda_{\alpha\dot\alpha}^{[\mu}\bar\lambda^{\nu]\,\dot\alpha\beta}$$

В представлении $S^-$ в формуле для генераторов надо переставить бар. Обратите внимание на индексы, эти генераторы умеют действовать именно в том представлении, в каком надо.

Теперь, пусть $\sigma^i$ -- генераторы в дираковском представлении в размерности $2k-1$. Тогда из них можно собрать лямбды в нашей размерности $2k$ по формулам типа $\lambda^\mu = (1,\,\sigma^i)$, $\bar\lambda^\mu=(1,\,-\sigma^i)$.

Ваши формулы под катом для генераторов $so(8)$ на самом деле работают для подалгебры $so(7)$, т.е. это не все генераторы.

Пусть мнимые образующие алгебры октонионов умножаются так: $e_ie_j=c_{ijk}e_k$, а полные октонионы умножаются так: $(uv)^a=f_{bc}^a u^b v^c$. Тогда 7-ми мерные гамма матрицы выражаются через $c$ по формуле, которую Вы написали (у Вас они обозначены $(\lambda^\mu)_{ab}$, у меня $\sigma^i$). А полные константы $f$ равны восьмимерным сигма-матрицам, $\lambda=(1,\sigma)$.

Как-то примерно так, с точностью до пары знаков :)