замыкание выпуклого множества

[Nerazumovskiy]

Lazy в сообщении #403976 писал(а):

Я написал уже: стандартной топологией в $R$ называется множество, элементами которого являются всевозможные совокупности объединений открытых интервалов. Например: $(a, b) \cup (c, d)$, где $a,b,c,d \in R$.

а в $R^{2}$ ?

[MaximVD]

ewert.
В конечномерном случае выпуклая оболочка компактного множества всегда компактное множество (если топология не "совсем плохая").

[Lazy]

MaximVD в сообщении #403979 писал(а):

И, кстати, можно показать, что в $\mathbb{R}$ требуемого примера не привести (выпуклая оболочка определена в любом линейном пространстве, в том числе и на прямой).

Именно это и навело меня на мысль задать вопрос: "как у Вас определено замкнутое множество". Я требуемого примера привести не могу .

Я и не знал что выпуклая оболочка определена в $R$

Вот, кстати, цитата: "Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве."

P.S.: Про компактность автору темы вряд ли поможет...

[Nerazumovskiy]

MaximVD в сообщении #403979 писал(а):

Есть стандартный пример, описанный во многих учебниках: возьмём множество $A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \ge \frac 1 x \} \cup \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \le - \frac 1 x \}$.
Совсем несложно найти чему будет равна выпуклая оболочка множества $A$ и это множество будет открыто.

Хитро, очень хитро

-- Пн янв 24, 2011 20:42:56 --

Lazy в сообщении #403987 писал(а):

Вот, кстати, цитата: "Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве."

Я вот не понимаю, а чем классическое определение выпуклой комбинации так страшно, что надо писать про многоугольник

[MaximVD]

Построение выпуклой оболочки - важная практическая задача, поэтому полезно знать что же собой представляет выпуклая оболочка в простых примерах. Классическое определение удобно для теоретического изложения материала. На практике, при построении методов им, как правило, не пользуются, пользуются именно геометрической интерпретацией, которую привёл Lazy.

[Padawan]

ewert
Выпуклая оболочка множества на плоскости равна объединению всевозможных треугольников с вершинами в этих точках (вроде так. По крайней мере достаточно только для конечных множеств проверить). Поэтому выпуклая оболочка является непрерывным образом компакта $T\times K^3$, где $K$ -- исходный компакт, $T$ - треугольник.

[Lazy]

И все же, существует ли замкнутое множество в $R^2$, что выпуклая оболочка его не замкнута? Или все же верно, что его не существует?

Мне уже самому интересно

[ewert]

Существует.

[Gortaur]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #404140 писал(а):

Существует.

ewert видимо не откажется от этого даже перед инквизицией нагрянь она к нему с бочонком смолы

[ewert]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #404173 писал(а):

ewert видимо не откажется от этого даже перед инквизицией нагрянь она к нему с бочонком смолы

Она не осмелится -- убоится "Г".

[Хорхе]

А чем не понравилась буква Г, не догоняю? Что за бредовые поползновения насчет ее незамкнутости?

[Gortaur]

ewert

(Оффтоп)

Не убоится, она именем этим и совершала свои преступления.

[ewert]

Padawan в сообщении #404019 писал(а):

[b]выпуклая оболочка является непрерывным образом компакта $T\times K^3$, где $K$ -- исходный компакт, $T$ - треугольник.

Этого я не понял (лень вдумываться в конструкцию). Я бы завершил гораздо вульгарнее. Если есть какая-то сходящаяся последовательность точек из объединения таких треугольников, то каждый член последовательности принадлежит некоторому треугольнику. По подпоследовательности можно считать, что и сами треугольники сходятся к некоторому предельному, который (в силу замкнутости исходного множества) тоже легален. Но тогда и предельная точка последовательности принадлежит предельному треугольнику.

Padawan в сообщении #404019 писал(а):

Выпуклая оболочка множества на плоскости равна объединению всевозможных треугольников с вершинами в этих точках (вроде так. По крайней мере достаточно только для конечных множеств проверить).

Ну да. Достаточно сослаться на то, что выпуклая оболочка любых двух таких треугольников является объединением треугольников того же типа. Что тривиально (поскольку эта оболочка есть не более чем шестиугольник, вершинами которого являются точки исходного множества).

Но я вот на что хотел обратить внимание. Объединение отрезков, соединяющих все пары элементов исходного множества, линейной оболочкой да, не является. Но вот если эту операцию применить к множеству дважды -- то это уже будет именно линейная оболочка. (А в $n$-мерном случае -- достаточно будет применить её $n$ раз.)

-- Вт янв 25, 2011 18:25:28 --

Nerazumovskiy в сообщении #403988 писал(а):

Я вот не понимаю, а чем классическое определение выпуклой комбинации так страшно, что надо писать про многоугольник

Оно не страшно, оно просто неконструктивно, в отличие от случая конечного количества точек. И вот тут как раз и пример: как вывести замкнутость непосредственно из общего определения -- непонятно.

[MaximVD]

Общее определение вполне конструктивно, если с ним сначала немного повозиться. Тогда и замкнутость доказать можно.
Если исходить из определения, что выпуклая оболочка это наименьшее выпуклое множество содержащее данное, то первым делом следует показать (а это делается очень просто), что выпуклая оболочка некоторого множества $A$ ($A$ - подмножество линейного пространства) в точности есть множество всевозможных выпуклых комбинаций точек из $A$. Т.е. любую точку из выпуклой оболочки можно представить в виде

$$ \alpha_1 a_1 + \ldots + \alpha_r a_r,\text{ где } r \in \mathbb{N}, a_i \in A, \alpha_i \ge 0, \alpha_1 + \ldots + \alpha_r = 1. $$

Для каждой точки $r$ может быть своё. Дальше, если линейное пространство конечномерно и его размерность равна $n$, то можно считать $r = n + 1$ (это доказывается уже не так просто, хотя и не очень сложно и это утверждение называется - теорема Каратеодори).
Ну, а дальше, если рассматривать подмножества в $\mathbb{R}^n$ и топологию брать каноническую, то доказать что выпуклая оболочка компакта - компакт не составляет труда.

Кстати, как раз из теоремы Каратеодори можно получить при $n = 2$, что выпуклая оболочка множества на плоскости равна объединению всевозможных треугольников с вершинами в точках этого множества.

[ewert]

MaximVD в сообщении #403979 писал(а):

Есть стандартный пример, описанный во многих учебниках: возьмём множество $A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \ge \frac 1 x \} \cup \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > 0, y \le - \frac 1 x \}$.

Чего-то громоздко. Достаточно взять подграфик функции $y=-\frac{1}{1+x^2}$. И вообще любой...

(трудно оторваться, единожды начавши)

-- Вт янв 25, 2011 19:07:47 --

MaximVD в сообщении #404388 писал(а):

Т.е. любую точку из выпуклой оболочки можно представить в виде

Как?... это уже совершенно неочевидно (хотя в конце концов и верно).