Последовательность, производящая функция и сложный диффур.

[Enoid]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста разобраться с задачей. Требуется найти $\alpha_k$, $k=1,2 ... n$ в замкнутом виде.
Известно, что $\alpha_k\cdot \frac{1}{2}(n-k+2)(n-k+1)=\alpha_{k-2}\cdot(k-2)(n-(k-2))-\alpha_{k-4}\cdot \frac{1}{2}(k-2)(k-3)$, $\alpha_2=\frac{2}{n(n-1)}$, $\alpha_{n-2}=0$, $n$ - четное. Ясно, что можно считать $\alpha_k=0$ при нечетных $k$.
Из других соображений известно, что если $n$ не является квадратом натурального числа, то система имеет единственное решение.
Мой ход решения: ищем производящую функцию этой последовательности: $G(x)=\sum_ {k=0}^{\infty}\alpha_kx^k$.
После некоторых преобразований получается уравнение на $G(x)$:
$G(x)(2x^4+n^2+3n+2)+G^{\prime}(x)(4x^5+2x^3(n-1)-2x(n+1))+ \\G^{\prime\prime}(x)(x^6-2x^4+x^2)-x^2-\alpha_0(n^2+3n+2)=0$.
Далее, используя mathematica, находим решение однородного уравнения:
$y(x)=x^{n+1}(x-1)^{-\frac {n}{2}+\frac{\sqrt{n}}{2}-1}(x+1)^{-\frac {n}{2}-\frac{\sqrt{n}}{2}-1}c_1+\\x^{n+1}(x-1)^{-\frac {n}{2}-\frac{\sqrt{n}}{2}-1}(x+1)^{-\frac {n}{2}+\frac{\sqrt{n}}{2}-1}c_2$
Что делать дальше - неясно. Mathematica зависает, если её просить решать неоднородное уравнение.
А как методом вариации постоянной искать решение, где 2 постоянных - тоже вопрос. Может быть функция Грина поможет, но какие краевые условия тогда брать...
Подскажите, что делать дальше.

[Enoid]

Неужели задача выглядит так ужасно, что никто не хочет разобраться?) По сути, дана несложная рекуррентная последовательность, нужно найти её члены в явном виде. Возможно, есть другие способы, кроме производящих функций?

[ol_mer]

извините за оффтоп, а что такое "в замкнутом виде"?
вы вообще уверены, что решения для

$$\alpha_{k}$$

можно выписать без рекуррентных соотношений(я так понимаю, это и есть ззамкнутый вид?)?

[Enoid]

Все верно, замкнутый вид это представление $\alpha_k$ в виде функции от $n,k$. Эти $\alpha_k$ являются коэффициентами в разложении по базису некоторой функции. Очень хочется представить их в замкнутом виде). Пока все уперлось в решение этого дифференциального уравнения.

[Хорхе]

1) А что за функция и что за базис?

2) А есть какие-то значения $\alpha$ в виде треугольника, чтоб повглядываться?

[sup]

Мне кажется, что Вы напутали со знаком в уравнении для $G$ (вклад слагаемого с $a_{k-2}$).
Должно получиться $+2x^4G''(x)$ и $-2x^3(n-1)G'(x)$. Может после исправления что-нибудь изменится в лучшую сторону.

[sup]

Мда, ничего там не изменится, все тоже самое. Достаточно у половины коэффициентов поменять знак. Стоит отметить, что сумма бесконечной быть не может, поскольку коэффициент $a_{n+2}$ не определен. С учетом конечности суммы, в дифф-уре появятся еще пара слагаемых (аналогично $a_0,a_2$). Метод вариации произвольных постоянных проводится как обычно (непонятно, в чем проблемы). Но при этом возникнут "нехорошие" интегралы с особенностями. Скорее всего коэффициенты $a_0,a_n$ надо будет подобрать так, чтобы особенности исчезли.