Инкремент подбором параметров.

[Circiter]

Здравствуйте. Снова надеюсь на помощь участников форума, и вот по какому вопросу. Имеется набор $n$ целочисленных (натуральных) параметров $k_1,\ k_2,\ \ldots,\ k_n$, контролирующих два выражения -- первое довольно простое,

$$\frac{2^{k_n}}{3^{n-k_n}},\eqno(1)$$

а второе посложнее,

$$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2^{k_i}}{3^{i-k_i}}.\eqno(2)$$

Как видите, первое выражения я вообще зря написал, его можно было бы включить в сумму $(2)$, просто так будет проще сформулировать и задать интересующий меня вопрос. :) На параметры наложены ограничения, а именно, $k_1$ должен быть нулем или единицей, сама же последовательность параметров должна монотонно возрастать, т.е. $k_i\leqslant k_{i+1}$ (ещё раз подчеркну, что числа натуральные). Ещё существенный момент, мне не нужно, чтобы тройка из знаменателя всплывала в числитель, поэтому для любого $i$ должно выполняться $k_i\leqslant i$.

Собственно, требуется установить возможность так модифицировать набор параметров $\{k_i\}_{i=1}^n$ (количество параметров, то есть число $n$, также можно свободно изменять) с сохранением ограничений, чтобы каждое из выражений $(1)$ и $(2)$ увеличилось ровно на единицу. Причем конструктивный алгоритм изменения параметров совершенно не важен, важно само существование решения.

Есть ли какие-нибудь идеи? Спасибо.

P.S.: Может быть какую-нибудь систему уравнений составить и показать, что она разрешима... Не знаю... Вообще, если я что-то нечетко написал, переспрашивайте, я буду уточнять. :)

[Shtirlic]

Circiter
Если $k_1=1$, то из ваших условий $k_i=i$ - в итоге получите геометрический ряд. Если $k_1=0$, то элементы последовательности $k$ растут на 1, но в одном месте может быть скачек на 2 - опять же геометрический ряд, только уже два штуки их может быть.
А дальше у вас два управления, изменять $n$ и перемещение скачка в две единицы (и сюда же изменение первого параметра можно отнести, фактически выбор куда можно втиснуть скачек в единицу).

[sup]

Что-то я вообще не могу выражение (1) увеличить на 1.
$\dfrac{2^a}{3^b}+1=\dfrac{2^c}{3^d}$
Ну хорошо, один раз можно
$a=b=d=0, c=1$.
А что еще может быть?

[Circiter]

Да уж... Ну хорошо, давайте немного "обобщим". Пусть изменение первого выражение будет обозначено $\triangle A$, а второго -- $\triangle B$. Исходный вопрос соответствовал случаю $\triangle A=\triangle B=1$. А вообще нужно, чтобы $6\triangle A-\triangle B=5$. :) Может быть в этом случае что-нибудь удастся придумать?

[Shtirlic]

Circiter
Сверните просто сумму геометрической прогрессии в ваших формулах, получите формулу от двух параметров (один n, другой элемент где происходит сдвиг на 1). А дальше посмотрите, можно ли на 1 увеличить, меняя параметры.

[Circiter]

2Shtirlic

Цитата:

Если k_1=1, то из ваших условий k_i=1

Мне кажется, что это ошибочный вывод, нет? Что мешает существовать, например, последовательности 1, 1, 1, 2, 2, ...? Вроде бы ни одно ограничение не нарушено (ни $k_i\leqslant k_{i+1}$, ни $k_i\leqslant i$). Соответсвенно, идея с геометрическими рядами как-то ускользает...

Можно немного переписать сумму $(2)$:

$$\frac{2^{k_1}3^{k_1}}{3^1}+\frac{2^{k_2}3^{k_2}}{3^2}+\cdots+\frac{2^{k_{n-1}}3^{k_{n-1}}}{3^{n-1}}.$$

При этом последовательность значений параметров формируется так: первый элемент равен нулю или единице, а каждый последующий либо увеличивается на единицу, либо не изменяется.

Здорово бы было свернуть эту сумму в явное выражение, но что-то не получается.

Да ещё и это досадное недоразумение с величиной приращений значений формул $(1)$ и $(2)$... Как я уже писал в предыдущем сообщении, не обязательно чтобы оба выражения изменились на единицу, главное чтобы разница между ушестиренным приращением первого и приращением второго была равна пятерке... Вроде как можно посмотреть какие именно пары чисел удовлетворяют такому требованию и сопоставить это с возможным поведением выражений вида $(1)$ и $(2)$, но не совсем понятно как это можно сделать... Может быть тупо поперебирать варианты на компьютере и попробовать угадать закономерность? :) Уже пробовал -- не угадывается.

P.S.: Надеюсь моя задачка не имеет никакого отношения к неразрешимым диофантовым уравнениям. :)

[Shtirlic]

Circiter в сообщении #405855 писал(а):

2Shtirlic

Цитата:

Если k_1=1, то из ваших условий k_i=1

Мне кажется, что это ошибочный вывод, нет? Что мешает существовать, например, последовательности 1, 1, 1, 2, 2, ...? Вроде бы ни одно ограничение не нарушено (ни $k_i\leqslant k_{i+1}$, ни $k_i\leqslant i$). Соответсвенно, идея с геометрическими рядами как-то ускользает...

Ну да. Я текст то прочитал, а формулу упустил из виду. Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$. А вы подразумеваете неубывающий ряд.

[Circiter]

2Shtirlic

Цитата:

Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$

Ну это уже тогда строго (монотонно) возрастающий ряд (последовательность) будет. Под монотонностью как-раз и подразумевают нестрогое неравенство в последовательности.

Надеюсь, что вы ещё идей подкините. :)

[Shtirlic]

Circiter в сообщении #405879 писал(а):

2Shtirlic

Цитата:

Монотонно возрастающий ряд это когда $k_{i-1}<k_i$

Ну это уже тогда строго (монотонно) возрастающий ряд (последовательность) будет. Под монотонностью как-раз и подразумевают нестрогое неравенство в последовательности.

Надеюсь, что вы ещё идей подкините. :)

Может я уже и запамятовал.
Могу предложить играться с самими изменениями. Например у вас есть ряд (я про второе выражение). Вы кидаете на любой элемент из $k$ единицу, что может повлечь за собой изменение ряда последующих элементов. Ясно, что изменение - это будут измененные элементы ряда минус эти же элементы до изменения. При изменении элемента его знаменатель уменьшился в 3 раза, а числитель увеличился в 2 раза (то есть элемент увеличился в 6 раз). Тогда ваше изменение равно 5 умноженное на элементы ряда соответствующие измененным $k_i$.
Надеюсь понятно, что я написал!=)
Дальше хочу спросить. Можно ли на какой либо итерации уменьшать элементы $k$ или подразумевается только рост (соответственно и выражений 1 и 2)?
Кстати при росте $k_n$ на единицу, изменение выражения 1 так же равно 5 умноженное на это выражение.

[Circiter]

2Shtirlic

Цитата:

Тогда ваше изменение равно 5 умноженное на элементы ряда соответствующие измененным $k_i$

Хм, интересно. Попробую в этом направлении подумать, спасибо.

Цитата:

Можно ли на какой либо итерации уменьшать элементы

Нет конечно.

Цитата:

или подразумевается только рост (соответственно и выражений 1 и 2)?

А вот это уже другой вопрос. Например, как я говорил ранее, $n$ тоже можно изменять, и если его уменьшить, то и значения выражений могут уменьшиться. Причем, уменьшение значений выражений $(1)$ и $(2)$ может и при постоянном $n$ происходить.

Кстати, я вот сейчас балуюсь выписывая на бумажку пары старых и новых наборов параметров, удовлетворяющих ограничению на приращения. Например, старый набор: 0, 1, 2, 3, 4 (пять параметров); новый набор: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 (восемь параметров). :)

И все-таки мне очень интересно, нет ли в этой задачке какого-нибудь фундаментального препятствия для доказательства формального существования решения (родственного проблемам алгоритмической неразрешимости, к примеру, как в теории диофантовых уравнений)?