Кривая Безье 5 порядка, гладкость 2 порядка

[mokriy]

Прошу помочь пощитать гладкость для Безье 5 порядка. Если возможно объяснить что такое гладкость и как её посчитать (большая просьба на простом примере). На википедии прочитал что такое Безье и посчитал по формулам 5 порядок :
(1-t)^5*P0+5*t*(1-t)^4*P1+10*t^2*(1-t)^3*P2+10*t^3*(1-t)^2*P3+5*t^4+(1-t)*P4+t^5P5
Но я не помню что такое гладкость, и как её считать, что-то в памяти висит на подобии, производная от чего-то, или по чем-то, и это будет гладкость 1 порядка, но не уверен, а из википедии ничего до конца не понял.
П.С. я по сути в этом чайник но ситуация требует вот и разбираюсь.

[ИСН]

Ну да, производная от чего-то. Да что там производная! Вот у Вас написано что-то, а что это? Как зовут, что жрёт, зачем оно? С этим бы разобраться.

[arseniiv]

Разве гладкость — не свойство кривой [ну или её части]? Она либо есть, либо нет, считать бессмысленно. Или это омонимичный термин?

-- Сб янв 22, 2011 20:44:49 --

mokriy в сообщении #403064 писал(а):

(1-t)^5*P0+5*t*(1-t)^4*P1+10*t^2*(1-t)^3*P2+10*t^3*(1-t)^2*P3+5*t^4+(1-t)*P4+t^5P5

$(1-t)^5 P_0 + 5t(1-t)^4 P_1 + 10t^2(1-t)^3 P_2 + 10t^3(1-t)^2 P_3 + 5t^4(1-t) P_4 + t^5 P_5$

[Lazy]

А Вы не могли бы задачу нормально сформулировать для начала?

Функция $f(x)$ называется гладкой в первом приближении, если она непрерывно дифференцируема на всей $dom\,f(x)$. Соответственно, гладкость второй степени означает непрерывную вторую производную и т.д.

[mokriy]

моя проблема в тов что, я не знаю(не понимаю) что такое гладкость кривой, и что с ней можно делать может кто-то привести пример гладкости, какой то простой кривой и объяснить на нем.
Мне нужно будет построить изображение при помощи кривой Безье 5 порядка и потом добавить гладкость 2 порядка что-то вреде этого
То есть мне нужно взять первую производную для гладкости 1 порядка?

[Lazy]

Кривая Безье 5-го порядка имеет 6 опорных точек ($P_i$). В параметрической форме задается следующим уравнением:
$B(t) = (1-t)^5P_0+5t(1-t)^4P_1+10t^2(1-t)^3P_2+10t^3(1-t)^2P_3+5t^4(1-t)P_4+t^5P_5$
При этом параметр $t \in [0;1]$. Вы же сказали, что читали на Вики, а там указано то как задается уравнение, и то как изменяется параметр, и даже анимированные картинки есть... Еще раз повторюсь - порядок гладкости функции определяется тем, сколько непрерывных производных она имеет. Вы дифференцировать умеете? Возьмите любую элементарную функцию, продифференцируйте 1 раз - если результат есть непрерывная функция, то исходная гладкая 1-го порядка, если то же для второй производной, то и второго порядка, если то же для третьей производной... Ну, Вы поняли

Примеры простые: $y = cos(x)$ - если дифференцировать хоть бесконечное количество раз, то все производные непрерывные, такие функции наз. аналитическими. Сколько порядков гладкости, по Вашему, имеет, например, функция $y = x^3 + x^2 + x + 7$?

Кстати, насчет гладкости второго порядка... Я полагаю, в Вашей задаче нужно вычертить фигуру кривыми Безье так, чтобы итоговая кривая была дважды непрерывно дифференцируема. Например, если две кривые Безье будут соединены так, что образуют в месте склейки острый угол, то такая кривая не будет иметь даже первого порядка гладкости.

[Алексей К.]

\setlength{\unitlength}{2pt} \begin{picture}(100,40) \color{magenta} \qbezier(0,20)(5,10)(10,0)\qbezier(10,0)(20,0)(30,20) \color{blue} \qbezier(40,0)(65,0)(70,0)\qbezier(70,0)(80,0)(90,20) \put(90,3){\circle{6}}\qbezier(90,0)(100,0)(110,20) \color{green} \put(130,10){\circle{20}}\qbezier(130,0)(140,0)(150,20) \end{picture}
Вот $\color{magenta}C^0$-гладкая кривая, две $\color{blue}C^1$-гладкие и $\color{green}C^2$-гладкая кривая (кривизна непрерывна). Зелёная даже $C^3$, похоже.
Кривая Безье, естессно, $C^\infty$-гладкая.

[mokriy]

большое спасибо за информацию теперь все понятно пойду дальше роботать

[JohnFNash]

Про простое дифференцирование Вы не совсем правы. Представлена параметрическая форма кривой. Но дело в том, что почти любую кривую можно параметризовать так, что производные будут нужное число раз гладкими.

Реальный критерий - дифференцирование по натуральному параметру (длине кривой). Здесь уже возможны более драматические ситуации если производная по параметру t в какой-то точке будет обращаться в ноль. Зависит это от расположения точек. Скажем, если все управляющие точки расположить на одной прямой, то итоговая линия очевидно не будет гладкой...

[arseniiv]

JohnFNash в сообщении #485163 писал(а):

Скажем, если все управляющие точки расположить на одной прямой, то итоговая линия очевидно не будет гладкой...

Что? Она не будет «кривой» в бытовом смысле, но негладкой она от прямоты не станет!