Есть ли в энтом Математика?

[paha]

Утундрий в сообщении #398580 писал(а):

а тоже ведь вариант...

ну разумеется... ведь Ваши матрицы -- это производные обычных и гиперболических вращений в разных плоскостях...

[Ales]

Исходная структура - 6-мерное линейное пространство, есть замкнутость только по сложению и умножению на число.
Матричное умножение выводит за его пределы.
Разумно искать внутри этого пространства подпространство - алгебру, замкнутую относительно умножения.

Но вряд ли возникнет какой-нибудь новый интересный алгебраический объект. Могут быть разве что кватернионы.

[paha]

Ales в сообщении #398692 писал(а):

Матричное умножение выводит за его пределы.

коммутаторы не выводят:)

[Утундрий]

Посчитал. Преобразованием от тех шести (но по три) к тем четырем (но по пять!) да плюс еще две (комплексно сопрягающие столбик), табличка умножения разваливается на две тройки. Как оно там по-вумному, прямая сумма (или произведение?) что ли? Видимо в энтом смысел стратегии.

[Ales]

paha в сообщении #398694 писал(а):

Ales в сообщении #398692 писал(а):

Матричное умножение выводит за его пределы.

коммутаторы не выводят:)

Значит это 6-мерная алгебра Ли.

[paha]

Утундрий в сообщении #398700 писал(а):

табличка умножения разваливается на две тройки. Как оно там по-вумному

Ну так поделитесь: типа $[A_i,A_j]=...$ всего-то 15 равенств:)

[Padawan]

Утундрий в сообщении #398508 писал(а):

paha в сообщении #398488 писал(а):

Комплексная структура на линейном пространстве

Звучит внушительно, благодарю Вас

А на кватернионы сие обобщается? А то насторожили меня эти матрицы Паули и попытался я из восэм-на-восэм похожей редукцией матрицы Дирака получить, да только что-то в волнах ничего не видно.

Обобщается. Чтобы задать на действительном векторном пространстве структуру кватернионного векторного пространства, надо задать три оператора $I,J,K$, такие, что $I^2=J^2=K^2=-\mathrm{id}$, $IJ=-JI=K$, ... ну и так далее.

[Утундрий]

paha
Поделюсь. Но ближайшие пару дней я в режиме созерцания. Потом планирую часиков на шесть перейти к активным действиям (очень любопытна получившаяся симметрия, намекающая, что редукцию к комплекснозначным столбикам здесь можно ввести не одним, а двумя способами), после чего и отпишусь.

[paha]

Утундрий в сообщении #399070 писал(а):

что редукцию к комплекснозначным столбикам здесь можно ввести не одним, а двумя способами)

лишь бы коммутировали с такой матрицей $J$, что $J^2=-E$

[zbl]

Утундрий в сообщении #398562 писал(а):

paha, ссылка слишком сложна для моего понимания, увы.

Там зашифровано.
Могу расшифровать, если хотите.

Гаусс придумал геометрическую интерпретацию комплексных чисел, подобную оной для вещественных -- комплексную плоскость, подобно вещественной прямой.
Получилось соответствие между вещественной плоскостью и комплексной прямой.
До этих идей Гаусса комплексные числа считались чем-то таинственным, а так они стали наглядными.
Соответственно, n-мерное комплексное арифметическое пространство (множество наборов из n комплексных чисел) соответствует 2n-мерному вещественному арифметическому пространству.

А можно взять n-мерное линейное векторное пространство, но разрешить умножать векторы на комплексные числа, а не только на вещественные, как обычно.
Тогда координатное пространство будет n-мерным арифметическим комплексным пространством.

Оператор $J$ тут -- это просто операция умножения на $i$.
То есть, другими словами, если мы хотим некое 2n-мерное линейное пространство сопоставить n-мерному арифметическому комплексному пространству, то должны, разумеется, ввести операцию умножения комплексных чисел.
Так вот в $J$ зашифрована эта операция умножения векторов 2n-мерного вещественного пространства по правилу умножения комплексных чисел.

[Bulinator]

Я тут развлекался с Райдером. Сразу напомнило. Утундрий
посмотрите стр.52 Райдер,"Квантовая теория поля". Матрицы не совпадают, но возникают ассоциации. Может у Вас это не $so(1,3)$, а, например $so(2,2)$ или типа того.

[Утундрий]

Я пока ничего нового писать не буду, как собирался. Ибо читаю про группы Ли...

[Утундрий]

Ну хорошо. Готов признать - алгебры Ли (групп пока даже не касаюсь) - весьма развитая поверхность наука. Но, ёжкин кот! Столько словов и все не по делу! Ну вот дают вам функцию и просют построить ея график. Дык, все понятно: интервалы там, производные всякие, точки Максима и Перегибова и вуаля. А с алгеброй чевой делать-то? Ну все ж уже дано: и коммутаторы (а комму - ляторы), и метрика Киллинга... казалось бы - впотребляй и радовайся. Только... где алгоритмы? Алгоритмы где? Вот допетрил я методом Тыкова до сорокапятиградусного проворота, после коего - таки да - очевидно разбиение в прямую сумму двух некоммутативных идеалов. А ежели б не?

[Munin]

Есть книжки по группам и алгебрам Ли "для практиков" - для физиков. Правда, я сам в них особо не ориентируюсь, так что не порекомендую. Но искать можно.

-- 09.02.2011 22:00:54 --

А, вот, в соседней теме порекомендовали Georgi и Cahn.

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #411152 писал(а):

А ежели б не?

А ежели б не, то махали бы руками с какой-нибудь теоремой о существовании))))