Inequality(2)

[man111]

If $a+b+c+d+e=3$.Then Prove that $(\frac{a}{1-a}).(\frac{b}{1-b}).(\frac{c}{1-c}).(\frac{d}{1-d}).(\frac{e}{1-e})\geq (\frac{3}{2})^5$

[ShMaxG]

man111
Уточните условие. При $a=0$ неравенство не выполнено.

[Sasha2]

Оно также нарушается и при $a=2, b=c=d=e=\frac{1}{4}$

[man111]

I think here $a,b,c,d,e>0$

[Sasha2]

See my post above, i.e positivity a, b, c, d, e is not ehough to satisfy this inequality.

[Руст]

Тут должно быть условие, что все переменные положительны и меньше 1. Иначе сделая одну из переменных чуть больше 1 получаем большое (точнее маленькое число) отрицательную величину.
В этом случае легко показать (например фиксируя сумму двух), что минимальное значение при их равенстве. Это приводит минимуму при $a=b=c=d=e=\frac 35$.

[RIP]

Если $b=c=d=e=\frac{3-a}4$ и $a\to+0$, то выражение стремится к 0.

[Руст]

Да, для того чтобы спасти задачу надо требовать еще условие:
Каждое из чисел от 0 до 1, сумма любой пары чисел не меньше 1.