Уравнения Эйнштейна в объемлющем пространстве

[Bulinator]

Возник чисто академический вопрос.
В теории гравитации все определяется метрическим тензором $g_{ik}$ $i,k=1,2,3,4$, который удовлетворяет уравнениям Эйнштейна:
$R_{ik}-\frac{R}{2}g_{ij}= T_{ik},$
где $R_{ij}$- тензор Риччи или след тензора кривизны Римана:
$R_{ik}=R^j_{ijk},$
$T_{ik}$- тензор энергии импульса системы, который, в общем случае можно взять наиболее общим. Для следующего обсуждения можно взять его в частном случе равным нулю. Тогда, в частном случае, уравнения Эйнштейна просто записываются ввиде:
$R_{ik}=0.$
$R$- скалярная кривизна или след тензора Риччи:
$R=R^i_i$.
Поднятие и опускание индексов делается с помощью метрического тензора:
$g^{ik}g_{kl}=\delta^i_l$.
Метрика $g_{ik}$ в окрестности любой точки всегда приводима к диагональному виду:
$\hat{g}=diag(1,-1,-1,-1)$

Вопрос 1:
Можно ли утверждать, что это пространство всегда вкладывается в $\mathbb{R}^5$?

Вопрос 2:
ПО теореме Уитни, наше пространство всегда вкладывается в какое-то пространство $\mathbb{R}^n$, $5\leq n\leq 9$. МОжно ли утверждать, что можно ввести $n-4$ функций $F_\alpha:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ таких, что уравнения
$F_\alpha=0$ в $\mathbb{R}^n$ фиксируют многообразие, гомеоморфное нашему, притом индуцированная на многообразии метрика $\mathbb{R}^n$ совпадает с нашей, наперед заданной?

[kavahox]

Если пространство является гладким многообразием, то да, $n-4$ функций достаточно для ее задания. А если еще и полагать свободу в классе многообразий диффеоморфных нашему, то и метрику можно соответственно подогнать. Хотя про метрику я не до конца уверен))

[Bulinator]

kavahox в сообщении #402136 писал(а):

Если пространство является гладким многообразием, то да, $n-4$ функций достаточно для ее задания.

Всмысле любое подмногообразие можно задать такими функциями?

[Munin]

Bulinator в сообщении #402117 писал(а):

Вопрос 1:Можно ли утверждать, что это пространство всегда вкладывается в $\mathbb{R}^5$?

Нельзя.

Bulinator в сообщении #402117 писал(а):

Вопрос 2:ПО теореме Уитни, наше пространство всегда вкладывается в какое-то пространство $\mathbb{R}^n$, $5\leq n\leq 9$.

Только локально. То есть функции такие ввести можно не всегда.

Вопрос 0: а зачем?

[Bulinator]

Munin в сообщении #402239 писал(а):

Нельзя.

Можете привести пример?

Munin в сообщении #402239 писал(а):

Вопрос 0: а зачем?

Я же сказал- вопрос чисто академический. Всмысле, может в объемлющем пространстве все будет проще или может есть какая-нибудь наглядная геометрическая интерпретация уравнений Эйнштейна.

[Padawan]

Bulinator в сообщении #402117 писал(а):

Метрика $g_{ik}$ в окрестности любой точки всегда приводима к диагональному виду:
$\hat{g}=diag(1,-1,-1,-1)$

Это дано? Ведь это не верно, в общем случае.

[Bulinator]

Это дано. Т.е. уравнения Эйнштейна построены именно таким образом, чтобы это условие выполнялось всегда.

[Padawan]

неправда

[Munin]

Уравнения Эйнштейна сигнатуру не сохраняют, но в физике рассматриваются только решения, в которых сигнатура именно такова - "физическая".

-- 20.01.2011 17:27:34 --

Bulinator в сообщении #402281 писал(а):

Можете привести пример?

Возьмите поверхность шара, и сделайте её произведение с поверхностью другого шара. Это будет часть четырёхмерного риманова многообразия, невложимая в евклидово пространство размерности меньше 6.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #402312 писал(а):

неправда

Munin в сообщении #402331 писал(а):

Уравнения Эйнштейна сигнатуру не сохраняют, но в физике рассматриваются только решения, в которых сигнатура именно такова - "физическая".

Я всегда думал( т.е. даже не думал а был уверен так что и не задумывался), что ур.-я Эйнштейна таковы, что метрику локально можно привести к диагональному виду притом именно $diag(1,-1,-1,-1)$.
Получается, что можно построить такое решение УЭ, что сигнатура будет меняться. Т.е. имея сигнатуру $(1,-1,-1,-1)$ в какой-то момент в какой-то точке, существует решение УЭ такое, что спустя некоторое время, эта сигнатура превращается в $(1,1,-1,-1)$. Правильно?

[Padawan]

Если тензор кривизны не равен нулю, то никаким выбором системы координат это не изменишь. Bulinator, Вы, вероятно, имеете ввиду приведение метрического тензора к диагональному виду не в целой окрестности, а в самой точке. Это большая разница.

[Bulinator]

Padawan в сообщении #402364 писал(а):

Bulinator, Вы, вероятно, имеете ввиду приведение метрического тензора к диагональному виду не в целой окрестности, а в самой точке

Да да... Конечно в одной.

(Оффтоп)

Забыл, что тему открыл в разделе "Математика"

[Munin]

Bulinator в сообщении #402361 писал(а):

Я всегда думал( т.е. даже не думал а был уверен так что и не задумывался), что ур.-я Эйнштейна таковы, что метрику локально можно привести к диагональному виду притом именно $diag(1,-1,-1,-1)$.

В них такого точно нигде не сказано. Возможно, это может быть заложено в уравнение состояния материи (и вытащено из него), но я не уверен. В вакууме им точно унимембрально.

Bulinator в сообщении #402361 писал(а):

Получается, что можно построить такое решение УЭ, что сигнатура будет меняться.

Не уверен. Просто могут быть решения с одной сигнатурой, и с другой. А про переменную сигнатуру я читал только в предположительном ключе, как возможное начало Вселенной :-) Возможно, я просто слишком глубоко не залезал, например, Петрова я так и не осилил.

[Утундрий]

Bulinator
То, что не каждое риччи-плоское $M_4$ можно поместить в $R_5$ можно углядеть, воспользовавшись выражением тензора кривизны через вторую квадратичную форму: $\[R_{iklm} = b_{il} b & _{km} - b_{im} b_{kl} \]$. Откуда смешанные компоненты тензора Риччи $\[R_k^i = b_k^i b_s^s - b_s^i b_k^s \]$. Осталось перепробовать все возможные жордановы формы матрицы $b$ и посмотреть к сколь бедному допустимому набору $R_{iklm}$ приводит условие $\[R_k^i = 0\]$. Проделайте это.

[kavahox]

Munin в сообщении #402239 писал(а):

Bulinator в сообщении #402117 писал(а):

Вопрос 2:ПО теореме Уитни, наше пространство всегда вкладывается в какое-то пространство $\mathbb{R}^n$, $5\leq n\leq 9$.

Только локально. То есть функции такие ввести можно не всегда.

Ну так эти локальные функции можно сшить и получить одну глобальную, в деталях я копался давно, но факт помню