Свёртка в математическом анализе.

[ewert]

Во-первых, не в $L_1$, а из $L_1\times L_1$ в $L_1$, допустим. Во-вторых, он тогда даже не ограничен. Посмотрите, скажем, на свёртку двух одинаковых симметричных одиночных прямоугольных импульсов единичной высоты. Норма каждого равна его ширине, а норма свёртки -- пропорциональна квадрату ширины.

Для $L_2$, кстати, ещё лапидарнее. Тогда это более-менее унитарно эквивалентно поточечному умножению функций, какая уж тут ограниченность.

[Padawan]

Компактность я понимаю в следующем смысле: образ $B\times B$ компактен, где $B$ -- единичный шар в $L^1$. Я понял уже, что не компактен. Однако, вот с этим

ewert в сообщении #401936 писал(а):

Во-вторых, он тогда даже не ограничен.

не могу согласиться, так как по теореме Фубини
$\|f*g\|_1\leqslant\|f\|_1\|g\|_1$
Раз не компактен, то его нельзя конечномерными операторами приблизить по норме. Поэтому не думаю, что свёртку можно в виде тензора представить.

[Oleg Zubelevich]

тензорное произведение в линейных топологических пространствах см Шефер Топологические векторные пространства.
Свертке наверное соответствует тензор пространства $L^{p'}(\mathbb{R})\otimes L^{q'}(\mathbb{R})\otimes L^r(\mathbb{R}),\quad 1/q+1/p=1/r+1,\quad 1<p,q,r<\infty$ Но это надо продумывать. ($1/p+1/p'=1/q+1/q'=1$)