Оператор лапласа от вектора (тензора)

[Александр Козачок]

Munin в сообщении #401188 писал(а):

Вместо того, чтобы давать ссылки на DjVu-файлы, надо было просто назвать их по авторам.

Прошу меня простить за невнимательность. Я не обратил внимания, что после загрузки сообщения в адресах ссылок вместо фамилий авторов появились многоточия. Поэтому я их даю отдельно в такой же последовательности с некоторыми уточняющими добавлениями:
Smirnov_t2_1974 ВМ т.2, стр. 316 (1958г.)
Sedov_MSS_t1_1970 стр. 37
LandauLifshic_t4_1941 т.2, Теория поля, стр. 277 (1960г.)
BorisenkoTarapov1966 Векторный анализ…, стр. 149 (1972г.)
Сюда можно еще добавить и весьма авторитетный источник «Математические проблемы классической механики»
(В.И. Арнольд), стр.!58.

Munin в сообщении #401188 писал(а):

…вам бы сразу привели каждый из участников обсуждения как минимум по учебнику, по которому он сам учился.

Пожалуйста, прошу Вас, хотя бы Вы приведите ссылки, и очень хотелось бы знать имя того мужественного человека, кто впервые осмелился пересмотреть фундаментальные вековые традиции выдающихся предшественников.

С уважением,
Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #401284 писал(а):

Прошу меня простить за невнимательность. Я не обратил внимания, что после загрузки сообщения в адресах ссылок вместо фамилий авторов появились многоточия.

Не в этом дело. Давая ссылку, вы заставляете человека скачать целый файл, только для того, чтобы понять: а, это хорошо известный учебник Смирнова. Старый, популярный, и в некоторых смыслах довольно слабенький.

Александр Козачок в сообщении #401284 писал(а):

Пожалуйста, прошу Вас, хотя бы Вы приведите ссылки

Я подожду, когда это сделают Gafield, terminator-II, paha. Впрочем, некоторые учебники в этой теме уже называли, если вы были внимательны:

Gafield в сообщении #280897 писал(а):

Уорнер

terminator-II в сообщении #281848 писал(а):

Ефимов Розендорн
...
Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

Несколько непонятно, почему вы этими ссылками не воспользовались.

Александр Козачок в сообщении #401284 писал(а):

Пожалуйста, прошу Вас, хотя бы Вы приведите ссылки, и очень хотелось бы знать имя того мужественного человека, кто впервые осмелился пересмотреть фундаментальные вековые традиции выдающихся предшественников.

В таком тоне будете высказываться в "Дискуссионных темах" или в "Пургатории", а здесь ведите себя скромнее. Если вы не можете понять, что именно фундаментальная традиция, а что её упрощение для работников топора, не воспевайте того, что воспевать не следует.

[svv]

AlexeY-AY, попробуйте преобразовать $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf{a}$ к виду $\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{a} - \Delta \mathbf{a}$ (где лапласиан -- в смысле Вашего первого определения, $\Delta\mathbf{a} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j \mathbf{a}$).

Воспользуемся формулой для ротора, связывающей ковариантные компоненты дифференцируемого векторного поля $\mathbf{a}$ и ковариантные компоненты ротора:
$(\operatorname {rot} \mathbf{a})_i = \frac 1 {\sqrt g} g_{ik} \epsilon^{klm} \nabla_l a_m$
Тогда
$(\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf{a})_i = \frac 1 {\sqrt g} g_{ik} \epsilon^{klm} \nabla_l \left[\frac 1 {\sqrt g} g_{mn} \epsilon^{npq} \nabla_p a_q \right]$

Самое главное -- не опускаться до раскрытия ковариантных производных, никаких символов Кристоффеля, иначе формулы действительно будут сложными. К счастью, ковариантные производные метрического тензора, $g$, символов Леви-Чивита равны нулю, поэтому их можно выносить из-под знака $\nabla$.

Вот первые действия. Опустим индексы первого $\epsilon^{klm}$, воспользовавшись формулой
$\frac 1 {\sqrt g} g_{ik} g_{rl} g_{nm} \epsilon^{klm} = \sqrt{g} \epsilon_{irn}$
Получим:
$(\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf{a})_i = \epsilon_{irn} \epsilon^{npq} g^{rs} \nabla_s \nabla_p a_q$

Затем выразите $\epsilon_{irn} \epsilon^{npq}$ через символы Кронекера. И тогда -- рукой подать до $\operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{a} - \Delta \mathbf{a}$.

Правда, возможно одно препятствие : может быть необходимо поменять порядок ковариантных производных, а расплатой за это будет появление слагаемого с кривизной. Случится это или нет -- и будет ответом на Ваш вопрос о справедливости классической формулы в общем случае.

[Александр Козачок]

Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Munin в сообщении #401394 писал(а):

Александр Козачок в сообщении #401284 писал(а):

Пожалуйста, прошу Вас, хотя бы Вы приведите ссылки

Я подожду, когда это сделают Gafield, terminator-II, paha.

Похоже, что Gafield, terminator-II, paha не заметили выдвинутое Вами условие. Однако это уже не имеет особого значения. Пока достаточно и этих сведений:

Цитата:

Впрочем, некоторые учебники в этой теме уже называли, если вы были внимательны: Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия
Несколько непонятно, почему вы этими ссылками не воспользовались.

Мне казалось, что в университетских учебниках ничего подобного не может быть, если
Л.Д. Ландау и даже сам В.И. Арнольд утверждают, что градиент скалярной функции - вектор. К тому же согласно Л.Д. Ландау «В декартовой системе координат нет разницы между ковариантными и контравариантными векторами, - правила преобразования (83,2) и (83,4) становятся эквивалентными…. В декартовых координатах градиент обладает такими же векторными свойствами, как и все другие векторы» (ТП, 1960, стр. 277, http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 941ru.djvu здесь 1941г.! ).
Поэтому утверждение «Мы привыкли говорить, что градиент числовой функции … в декартовых координатах… – это вектор…; градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор. Такая величина будет ниже называться ковектором» да еще в официальном учебнике для физмат специальностей университетов (Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия) оказалось для меня весьма приятной неожиданностью. На это утверждение теперь уже можно ссылаться при защите своих собственных результатов, сформулированных здесь:

Александр Козачок в сообщении #387371 писал(а):

… Все функции, которые не соответствуют этим соотношениям, не позволяют создать векторное поле. Так, например, бездивергентное безвихревое поле … по сути дела не является векторным…. В строгости вошедших в учебники классических доказательств по поводу этого поля, вероятно, мало кто сомневался. А если и сомневался, то на эти сомнения никто не обращал внимания.

И действительно, первое издание этого учебника появилось в 1979 г., второе - в 1986 г. И вот, уже более 30! лет, похоже, все остается без существенных изменений.

Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):

Ведь в самых авторитетных учебниках и в Интернет-источниках утверждается обратное: градиент скалярной функции – вектор:…
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field
http://www.youtube.com/watch?v=CmoxhxK8Org

Вероятно, из-за необходимости

Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):

…неизбежного пересмотра традиционных представлений в этой области знаний …Например, каковы последствия признания, что градиент скалярной функции -- не вектор
для Уравнений Эйлера идеальной жидкости

$ \[ \rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u \]$

Или, скажем, для основной теоремы векторного анализа о расщеплении векторного поля на потенциальное и соленоидальное. Или хотя бы для формулы

$\[ \operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u \]$

Поскольку градиент не вектор, то что это означает для лапласиана и ротора?

Только почему никто из участников обсуждения этих тем пока не спешит первым сформулировать свою позицию хотя бы по последней формуле, являющейся объектом обсуждения настоящей темы? Я полагаю, что данный случай нельзя рассматривать как

Munin в сообщении #401394 писал(а):

…упрощение для работников топора…

Хотя к сожалению, в истории науки имеются печальные факты усердной деятельности работников топора. Причем, чаще всего к использованию топора прибегают те, кто видит угрозу своим ошибочным представлениям. На собственном опыте тоже убедился в этом. Свою позицию по поводу подобных ситуаций, неизбежных в настоящей науке, я еще несколько лет назад изложил здесь http://a-kozachok1.narod.ru/first.doc

С уважением и благодарностью за необычайно полезную ссылку,
Александр Козачок

[Munin]

Александр Козачок в сообщении #403567 писал(а):

Похоже, что Gafield, terminator-II, paha не заметили выдвинутое Вами условие.

Скорее, им на вас наплевать.

Александр Козачок в сообщении #403567 писал(а):

Мне казалось, что в университетских учебниках ничего подобного не может быть, если Л.Д. Ландау и даже сам В.И. Арнольд утверждают, что градиент скалярной функции - вектор.

Ландау не был математиком. Арнольда вы неправильно поняли.

Александр Козачок в сообщении #403567 писал(а):

На это утверждение теперь уже можно ссылаться при защите своих собственных результатов

Бесполезно при защите глупостей ссылаться на умные вещи, сказанные о другом предмете.

Александр Козачок в сообщении #403567 писал(а):

Только почему никто из участников обсуждения этих тем пока не спешит первым сформулировать свою позицию хотя бы по последней формуле, являющейся объектом обсуждения настоящей темы?

Её давно сформулировали, но вы, как всегда, слепы. Куда вам и дорога.