Ортогональные операторы

[caxap]

7. Какой размерности может быть евклидово пространство, в котором есть ортогональные операторы без собственных векторов?

Точно может быть 2-мерно (поворот, матрица $\begin{pmatrix}\cos \varphi&-\sin \varphi\\\sin \varphi&\cos \varphi\end{pmatrix}$ в базисе $(\vec i,\vec j)$) и не может быть одномерно. В 3-мерном не могу найти, при больших размерностях, видимо, тоже нет таких. А как это можно доказать?

[Gortaur]

А расширить двумерный случай на них никак?

[caxap]

Gortaur
Вращение? Ну оно будет иметь СВ при размерностях $\ge 3$ -- это векторы на оси, вокруг которой вращают. А вдруг существует другие ортог. преобразования, но уже без СВ?

---------------
В случае нечётной размерности хар. многочлен будет иметь вещественный корень и будут соответствующие СВ. Остаётся только чётные разобрать.

[Gortaur]

Я думал - может диагональной единичкой достаточно дополнить.

[caxap]

Gortaur
Тогда в этом базисе эта единичка и будет СЗ, а для него будет СВ. То, что в любом пространстве будет ортог. преобразование с СВ -- это понятно (напр. тождественное). Мне нужно как-то показать, что при чётных размерностях $>2$ любой ортог. оператор имеет СВ (или, если есть без СВ -- найти их).

[ewert]

Характеристический многочлен нечётной степени всегда имеет вещественный корень, а вот чётной -- может и не иметь. Причём для любой чётной: любое пространство чётной размерности можно разбить в ортогональную сумму двумерных подпространств, и достаточно просто сделать в каждом из них по какому-нибудь повороту. Отсюда сразу и ответ.

[caxap]

ewert в сообщении #401145 писал(а):

Характеристический многочлен нечётной степени всегда имеет вещественный корень, а вот чётной -- может и не иметь.

Это я уже понял

ewert в сообщении #401145 писал(а):

любое пространство чётной степени можно разбить в ортогональную сумму двумерных подпространств, и достаточно просто сделать в каждом из них по какому-нибудь повороту. Отсюда сразу и ответ.

Ааа. Можно разбить пространство на $n/2$ двумерных орт. подпространств и в каждом сделать поворот, например, на $\pi/2$. Получится матрица $A=U\oplus U\oplus\cdots\oplus U$, где $U=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$. $|A-\lambda E|=(\lambda^2+1)^{n/2}$ и все СЗ комплексны. То есть в любом Е.П. чётной размерности есть орт. оператор без СВ.
Так?

[ewert]

Так.

[caxap]

Спасибо.