Метод Гаусса

[dmitryf]

Вопрос был про метод Гаусса, почему главным переменным соответствуют лидеры строк в ступенчатой матрице и почему в таком случае мы всегда можем однозначно их выразить.

На сколько я понимаю в качестве главных переменных можно выбрать по одной из каждой ступеньки, это как найти базу в ступенчатой матрице? И это и является обоснованием?

[Aleksandrito]

Боже мой это элементарно первый курс аналитическая геометрия самое начало.

[gris]

Матрицу можно привести к ступенчатой разными способами, так что "лидеры строк" могут быть разными. Поэтому нет особого смысла копаться в процедуре выбора свободных и зависимых переменных после такого приведения. Но да, можно в качестве очередной зависимой (главной?) выбрать переменную, соответствующую ненулевому элементу ступеньки.

[dmitryf]

Да, это понятно, что лидеры строк могут быть любыми и именно поэтому можно выбрать любой ненулевой элемент ступеньки, но вот с чем это связано, с линейной зависимостью столбцов? Ведь получается, что столбцы на одной ступеньке линейно зависимы.

[gris]

не обязательно.
3 4 0 1
0 1 2 3
0 0 0 1

[dmitryf]

Нет, я про стандартный алгоритм нахождения базы строк.

Берем строки, транспонируем, записываем их как столбцы, дальше приводим матрицу к ступенчатому виду, поскольку элементарные преобразования производились над строками (которые раньше были столбцами) линейные сотношения между столбцами (которые раньше были строками) не менялись и линейно зависимы строки перейдут в те же самые линейно зависимы столбцы в ступенчатой матрице. Логично, что столбцы с одной ступеньки будут линейно зависимыми.

К сожалению я не знаю, откуда вы волучили эту матрицу, ничего не могу сказать.

BTW какое ваше обоснование почему в качестве главных выбираются ненулевые элементы ступеньки и почему их всегда можно однозначно выразить через свободные?

Может это и тупой вопрос, но часто бывает сложно доказать очевидное.

[ewert]

Какие умные слова-то все знают. Между тем как единственно осмысленный термин во всей этой ситуации -- это "ведущий элемент". Это тот, кто сидит в левом верхнем углу соотв. правой нижней подматрицы на каждом шаге метода Гаусса. Который не ассоциирован ни с какой строкой, и ни с каким столбцом, а вот именно с подматрицей в целом.

[gris]

Тот вопрос был про решение СЛАУ методом Гаусса.
Вот пример. Уже ступенчатая матрица (не расширенная)
1 1 0 1
0 1 1 1
0 0 0 1
Я могу принять за главные $x_1, x_2,x_4$ или $x_1, x_3,x_4$. При этом второй и третий столбец линейно независимы.

[ewert]

Не надо ничего гадать, надо действовать по шаблону. Переставить второй и третий столбцы, чтоб на главной диагонали (настолько, насколько возможно диагонали) стояли не нули. И тупо проводить обратный ход метода Гаусса.