Нестационарная задача теплопроводности в цилиндре.

[PATIfon]

Дано уравнение теплопроводности в цилиндре. Имеет место осевая симметрия, поэтому задача сводится к:
$du/dt=a^2((1/r)(d/dr)r(du/dr)+(d^2u)/dz^2)$, здесь $d$ имеет смысл частных производных.
Даны также начальное условие на нулевом слое по времени и краевые условия... Задачу требуется разрешить методом расщепления. Вопрос в том как аппроксимаровать первый дифференциальный оператор разностным, то есть оператор $(1/r)(d/dr)r(du/dr)$. Буду очень благодарен за ответ..

[ewert]

$\dfrac{1}{r_{k}\cdot h^2}\Big(r_{k+{1\over2}}(u_{k+1}-u_{k})-r_{k-{1\over2}}(u_{k}-u_{k-1})\Big)$, где $u_k\approx u(r_k)$, $r_k\equiv k\cdot h+{h\over2}$, $k=0,1,2,\ldots$ и, соответственно, $r_{k-{1\over2}}=k\cdot h$, $r_{k+{1\over2}}=(k+1)\cdot h$.

[PATIfon]

Эм..если $r=const$, то получим обычную разностную формулу второй разностный производной от $u$ по $r$, а в данном случае вы не напутали с обозначениями? Может быть$ r_k=kh$, a $r_(k-1/2)=kh-h/2$? Либо я не понимаю как была получена эта формула.. Можете примерно пояснить?

[ewert]

PATIfon в сообщении #400704 писал(а):

Либо я не понимаю как была получена эта формула..

Тупо в лоб и получена -- стандартная симметричная разностная схема для переменного "коэффициента теплопроводности" (математически именно его роль играет внутренний множитель $r$). Тут только один нюанс: узловые значения функции ищутся вот именно для "полуцелых" значений радиуса. Благодаря чему вредное $u_{-1}$ умножается на ноль и, соответственно, из схемы исчезает. Поэтому не приходится задумываться о граничном условии в нуле.

[PATIfon]

Вы берете "в лоб" как формулу производной произведения? Можете полностью расписать как получена формула? На границах в задаче заданы условия третьего рода, так что можно не задумываться о необходимости задания в нуле, оно должно быть использовано затем в решении прогонкой слау в расщеплении.

[ewert]

Для дифференциального выражения $\dfrac{1}{w(x)}\cdot\dfrac{d}{dx}\alpha(x)\dfrac{du}{dx}$ стандартной трёхточечной разностной схемой является $\dfrac{1}{w_k}\cdot\dfrac{1}{h}\left(\alpha_{k+{1\over2}}\dfrac{u_{k+1}-u_{k}}{h}-\alpha_{k-{1\over2}}\dfrac{u_{k}-u_{k-1}}{h}\right)$. Узлы здесь могут быть, в принципе, какими угодно (но равноотстоящими, естественно). Получается она вполне напрашивающимся образом: каждая из внутренних дробей -- это примерно производная посередине между узлами, после чего их разность порождает примерно производную в центральном узле. Ну потом всё это надо, конечно, ещё и формально доказывать, но в принципе подход -- довольно очевиден.

Такая схема (при аккуратном описании граничных условий, конечно) обеспечивает стандартную точность порядка $h^2$ и, что тоже небесполезно, симметричность матрицы.

Ровно эту схему и следует использовать для радиального уравнения. Но тут проблема: граничное условие в нуле $u(0)\neq\infty$ естественным опразом не описывается.

Использование полуцелых узлов эту проблему снимает.

[PATIfon]

все ясно, огромное спасибо!

[PATIfon]

Можно еще один вопрос..в чем принципиальное различие между методом расщипления, методом ППП и методом суммарной аппроксимации? Ведь насколько мне известно в основе каждой из схем лежит принцип замены исходной задачи цепочкой локально-одномерных задач, которые в результате будут аппроксимировать нашу задачу и решаться будут в простейшем случае выполнением n прогонок..n-число пространственных переменных..

[ewert]

Не скажу. Скажем, термин "ППП" мне вовсе не знаком. Остальное не помню.